Número de Lucas

Els números de Lucas són una successió de sancers, cridats aixina en honor al matemàtic François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), qui va estudiar tant esta successió com l'estretament relacionada dels números de Fibonacci. No deuen ser confosos en les successions de Lucas, que és una classe general de successions a la que pertanyen els números de Lucas.

Definició

De manera similar als números de Fibonacci, cada número de Lucas es definix com la suma de les seues dos immediats anteriors, formant aixina una seqüència de sancers de Fibonacci. Els dos primers números de Lucas són L0 = 2 i L1 = 1 en contraposició als dos primers números de Fibonacci que són F0 = 0 i F1 = 1. Encara que estretament relacionats en la seua definició, els números de Lucas i de Fibonacci presenten propietats distintes.

Els números de Lucas poden aixina ser definits com seguix:

$L_n:=\{\begin{array}{cc}2& \text{si }n=0;\\ 1& \text{si }n=1;\\ L_{n-1}+L_{n-2}& \text{si }n>1.\end{array}$

La seqüència de números de Lucas és:

$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,\dots$Plantilla:OEIS.

Totes les seqüències d'número entero de Fibonacci apareixen en forma desplaçada com una fila de la matriu de Wythoff; la seqüència de Fibonacci en sí és la primera fila i la seqüència de Lucas és la segona fila. També, de la mateixa manera que totes les seqüències d'número entero de Fibonacci, la relació entre dos números de Lucas consecutius convergix a la proporció áurea.

Extensió per a sancers negatius

Usant L_n−2 = L_n − L_n−1, es pot estendre la successió de números de Lucas per a obtindre una seqüència doblement infinita.

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (es mostren els térmens $L_n$ per a $-5\le n\le 5$).

La fòrmula per als térmens en els índexs negatius en esta seqüència és:

$L_{-n}=(-1{)}^n{L}_n.$

Vore també

• Número primo de Fibonacci
• Seqüència de Fibonacci