Model de Vicsek

Una de les motivacions de l'estudi de la matèria activa pels físics és la rica fenomenologia associada a este camp. El moviment colectiu i els eixams es troben entre els fenomens més estudiats. Dins de l'enorme cantitat de models que han segut desenrollats per a comprendre el comportament d'una descripció microscòpica, el més famós és el cridat model de Vicsek presentat per Tamás Vicsek et al. en l'any 1995.

Els físics tenen un gran interés en este model, ya que és mínim i permet la comprensió d'un tipo d'universalitat. Consistix en partícules autopropulsadas puntuals que evolucionen a velocitat constant i alineen la seua velocitat en la dels seus veïns en presència de soroll. Este model mostra moviment colectiu a alta densitat de partícules o de baix soroll en l'alliniació.

Model (descripció matemàtica)

Com este model pretén ser mínim, supon que l'agregació és per la combinació de qualsevol tipo de autopropulsión i de l'alliniació efectiva.

Un individu $i$ és descrit per la seua posició ${𝐫}_i(t)$ i l'àngul que definix la direcció de la seua velocitat ${\Theta }_i(t)$ en el temps $t$. L'evolució en el temps discret d'una partícula s'establix per dos equacions: En cada u dels passos de temps $\Delta t$, cada agent s'alinea en els seus veïns a una distància $r$ en una incertitut per un soroll ${\eta }_i(t)$ com

${\Theta }_i(t+\Delta t)=⟨{\Theta }_j{⟩}_{|r_i-r_j|<r}+{\eta }_i(t)$

I es mou a velocitat constant $v$ en la nova direcció:

${𝐫}_i(t+\Delta t)={𝐫}_i(t)+v\Delta t\left(\begin{array}{c}\cos {\Theta }_i(t)\\ \sin {\Theta }_i(t)\end{array}\right)$

Tot el model és controlat per dos paràmetros: la densitat de partícules i l'amplitut del soroll en l'alliniació. A partir d'estes dos simples regles de iteración, diverses teories contínues han segut elaborades com la teoria de Tòner-El teu, que descriu el sistema a nivell hidrodinàmic.

Fenomenologia

Este model mostra una transició de fase a partir d'un moviment desordenat a un moviment ordenat a gran escala. En molt soroll o baixa densitat de partícules, són en promig no alineades, i poden ser descrites com un gas desordenat. A baix nivell de soroll i gran densitat, les partícules estan alineades a nivell global i es mouen en la mateixa direcció (moviment colectiu). Este estat s'interpreta com un líquit ordenat. La transició entre estes dos fases no és contínua, de fet, el diagrama de fase del sistema presenta una transició de fase de primer orde en una separació de microfases. En la coexistència de la regió de tamany finito sorgixen bandes de líquit en un ambient gaseós i es mouen a lo llarc de la seua direcció travessera. Esta organisació espontànea de partícules tipifiquen el moviment colectiu.