Model d'equacions simultànees

El Model d'equacions simultànees és un model estadístic que ve dau per un conjunt d'equacions llineals. A sovint s'utilisen en econometria per a trobar valors dels paràmetros que es troben correlacionados i que succeïxen paralelament, per eixemple, en les estimacions de l'oferta

Forma estructural i reduïda

Supongam que hi ha m equacions de regressió de la forma:

$y_{it}=y_{{-}^{\prime }i,t}{\gamma }_i+x_{i^{\prime }t}{\beta }_i+u_{it},i=1,\dots ,m,$

a on i és en número de l'equació, i t = 1, …, T és l'índex de l'observació. En estes equacions x_it és el k_i×1 vector de variables exógenas, i_it la variable depenent, i_−i,t és el n_i×1 vector de totes les demés variables endógenas que entren en l'equació i^th del costat dret, i o_it són els térmens d'error. La notació “−i” indica que el vector i_−i,t pot contindre qualsevol dels i’s llevat el i_it ((lloc que ya està presente en el costat esquerre). Els coeficients de regressió β_i i γ_i són de dimensions k_i×1 i n_i×1 respectivament. Verticalment apilant les T observacions corresponents a l'equació i^th, podem escriure cada equació en forma vectorial com:

$y_i=Y_{-i}{\gamma }_i+X_i{\beta }_i+u_i,i=1,\dots ,m,$

a on i_i i o_i són T×1 vectores, X_i és una T×k_i matriu de regresores exógenos, i I_−i és una T×n_i matriu de regresores endogeneos del costat dret de l'equació i^th.Finalment, es pot moure totes les variables endógenas a l'esquerra i escriure les equacions m conjuntament en forma vectorial com:

$Y\Gamma =X\mathrm{B}+U.$

Esta representació es coneix com la forma estructural. En esta equació I = [i₁ i₂ … i_m] és la T×m matriu de variables independents. Cada una de les matrius de I_−i és de fet una submatriz n_i columnes d'esta Y. La matriu m×m Γ, que descriu la relació entre les variables depenents, té una estructura complicada. Té uns en la diagonal, i tots els atres elements de cada columna i són o be els components del vector de −γ_i o zeros, depenent de que es varen incloure columnes de I en la matriu I_−i. La T×k matriu X ccontiene tots els regresores exógenos de totes les equacions, pero sense repeticions (és dir, la matriu X deu ser de ranc complet). Aixina, cada X_i és una k_isubmatriz X. La matriu Β té un tamany k×m, i cada una de les seues columnes consta dels components dels vectores de β_i i zeros, depenent de quin dels regresores de X varen ser inclosos o exclosos de X_i. Finalment, O = [o₁ o₂ … o_m] és una T×m matriu dels térmens d'error.

Postmultiplicando l'equació estructural per Γ -1, el sistema es pot escriure en la forma reduïda com

$Y=X\mathrm{B}{\Gamma }^{-1}+U{\Gamma }^{-1}=X\Pi +V.$

Este ya és un simple model llineal general, i es pot estimar, per eixemple, per mínims quadrats ordinaris. Per desgràcia, la tasca de descompondre la matriu estimada $\hat{\Pi }$ en els factors individuals i Β Γ⁻¹ és prou complicat, i per lo tant la forma reduïda és més adequada per a la predicció, pero no per a l'inferència.

Suposts

En primer lloc, el ranc de la matriu X de regresores exógenos deu ser igual a k, tant en mostres finitas i en el llímit com T → ∞ (significa açò més alvance requisit de que en el llímit de l'expressió $\frac{1}{T}{X}^{\prime }X$ deu convergir a un no degenerada k × k matriu). Matriu Γ també se supon que és no degenerada.

En segon lloc, els térmens d'error s'assumixen com a série independent i idénticamente distribuïdes . És dir, si la t ª fila de la matriu T es denota per o (t), llavors la seqüència de vectores {o (t)} deu ser iid, en mija zero i alguns matriu d'covarianza Σ (que és desconegut). En particular, açò implica que I [O] = 0, i I [O'o] = T Σ.

Per últim, les condicions d'identificació requerix que el número d'incògnites en este sistema d'equacions no deu excedir el número d'equacions. Més específicament, la condició de l'orde requerix que per a cada equació k i n + i ≤ k, que pot expressar-se com "el número de variables exógenas excloses és major o igual que el número de variables endógenas inclosos". La condició ranc de identificabilidad és que el ranc (i Π 0) = n i, a on i Π és 0 a (k - k i) i × n matriu que s'obté de Π tachant eixes columnes que corresponen a les variables endógenas exclosos , i aquelles files que corresponen a les variables exógenas inclosos.

Estimació

Mínims quadrats en dos etapes (MC2E)

El més simple i el més comú és el método d'estimació per al model d'equacions simultànees cridat método de mínims quadrats en dos etapes, desenrollat de forma independent per Theil (1953) i Basmann (1957). És una tècnica d'equació per equació, a on els regresores endógenos en el costat dret de cada equació s'estan equipats en la regresores X de totes les atres equacions. El método es diu "en dos etapes", ya que porta a terme l'estimació en dos etapes:

Pas 1: regressió d'I sobre I_−i i obtindre els valors prevists ${\hat{Y}}_{-i}$ Pas 2: Estimació γ_i, β_i pel de mínims quadrats ordinaris de regressió de i_i sobre ${\hat{Y}}_{-i}$ i X_i.

Si l'equació i ª en el model s'escriu com :

$y_i=\left(\begin{array}{cc}{Y}_{-i}& X_i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\gamma }_i\\ {\beta }_i\end{array}\right)+u_i\equiv Z_i{\delta }_i+u_i,$

a on Z_i és una matriu de T×(n_i + k_i) d'abdós regresores, endógenos i exógenos, en la i^th equació, i δ_i és un vector (n_i + k_i) unidimensional de coeficients de regressió, llavors l'estimador MC2E de δ_i estarà donat per

${\hat{\delta }}_i=(\hat{Z}{\text{'}}_i{\hat{Z}}_i{)}^{-1}\hat{Z}{\text{'}}_i{y}_i=(Z{\text{'}}_{i}P{Z}_i{)}^{-1}Z{\text{'}}_{i}P{y}_i,$

a on P = X (X ′X)⁻¹X ′ és la matriu de proyecció sobre l'espai llineal travessat pels regresores exógenos X.