Màquina de Atwood

La màquina de Atwood^[1]^[2]^[3] és una màquina inventada en 1784 per George Atwood com un experiment de laboratori per a verificar les lleis mecàniques del moviment uniformemente accelerat.^[4] La màquina de Atwood és una demostració comuna en les aules usada per a ilustrar els principis de la Física, específicament en Mecànica.

La màquina de Atwood consistix en dos masses, $m_{1} y m_{2}$ , conectades per una cuerdo inelástica de massa despreciable en una polea ideal de massa despreciable.

Quan $m_{1} = m_{2}$ , la màquina està en equilibri neutral sense importar la posició dels pesos.
Quan $m_{1} > m_{2}$ abdós masses experimenten una acceleració uniforme.

Equació per a l'acceleració uniforme

Erro al crear miniatura:

Diagrama de cos lliure.

Es pot obtindre una equació per a l'acceleració usant anàlisis de forces. ya que s'està usant una cuerdo inelástica en massa despreciable i una polea ideal en massa despreciable, les úniques forces que es té que considerar són: la força tensió ( $T$ ) i el pes de les dos masses ( $m g$ ). Per a trobar el $\sum F$ tenim que considerar les forces que afecten a cada massa per separat (en el següent conveni de signes, suponent que $m_{1} > m_{2}$ ,- cap a "avall" -en el mateix sentit a l'acceleració de la gravetat $g$ - en $m_{1}$ i l'acceleració $a$ és positiva cap a "dalt" -en sentit contrari de l'acceleració de la gravetat $g$ - en $m_{2}$ ):

forces que afecten a $m_{1}$ :

T - m_{1} g = - m_{1} a

(a on

g

i

a

tenen el mateix sentit, la força d'inèrcia

m_{1} a

sentit contrari a

a

)

forces que afecten a $m_{2}$ :

T - m_{2} g = m_{2} a

(a on

T

i

a

tenen el mateix sentit, la força d'inèrcia

m_{2} a

sentit contrari a

a

)

Donant lloc al sistema:

\begin{matrix} T & - m_{1} g & = - m_{1} a \\ T & - m_{2} g & = m_{2} a \end{matrix}}

a on T i a sò les incògnites, ordenant tenim el sistema d'equacions llineals:

\begin{matrix} T & + m_{1} a & = m_{1} g \\ T & - m_{2} a & = m_{2} g \end{matrix}} ⟶ (\begin{matrix} 1 & m_{1} \\ 1 & - m_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} T \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1} g \\ m_{2} g \end{matrix})

Aplicant la regla de Cramer, el valor de les incògnites és:

T = \frac{| \begin{matrix} m_{1} g & m_{1} \\ m_{2} g & - m_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & m_{1} \\ 1 & - m_{2} \end{matrix} |} = \frac{- m_{1} g m_{2} - m_{1} m_{2} g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g

a = \frac{| \begin{matrix} 1 & m_{1} g \\ 1 & m_{2} g \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & m_{1} \\ 1 & - m_{2} \end{matrix} |} = \frac{m_{2} g - m_{1} g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g

El factor $\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ , en $m_{1} > m_{2}$ , és el número adimensional denominat número de Atwood en honor de George Atwood.

Nota: Inversament, l'acceleració deguda a la gravetat ( $g$ ) pot obtindre's cronometrant el moviment dels pesos i calculant un valor per a l'acceleració uniforme ( $a$ ): En el diagrama de la figura, si es partix de les masses alineades i es medix el temps $t_{12}$ en el que se separen les masses una distància vertical $d_{12}$ , es complix que $d_{12} = \frac{1}{2} a t_{12}^{2}$ . Llavors: $g = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2} - m_{1}} \frac{2 d_{12}}{t_{12}^{2}}$

Equació per a la tensió

Pot ser útil obtindre una equació per a la tensió en la corda. Per a evaluar la tensió substituïm l'equació per l'acceleració en qualsevol de les dos equacions de força.

a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g

Per eixemple substituint en $m_{2} a = T - m_{2} g$ , s'obté:

T = \frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g

La tensió pot obtindre's d'una forma similar de $m_{1} a = m_{1} g - T$

Referències

↑ B.P.C. (Curs de Física de Berkeley) (2020). «3», Mecànica, 2 edició (en espanyol), Reverte S.A., p. 91. ISBN 978-84-291-4282-2.
↑ Ibáñez Mengual (1989). «4.3», Universitat de Múrcia (ed.). Física, 1 edició (en espanyol), EDITUM, p. 126. ISBN 84-7684-188-4.
↑ Paul A. Tipler (1987). «6-4», Física preuniversitaria. I (en espanyol), Reverte S.A., p. 152. ISBN 84-291-4375-0.
↑ Elie Lévy (1992). «I», Diccionari Akal de Física (en espanyol), Edicions AKAL, p. 70. ISBN 97-884-460-0144-7.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Máquina de Atwood» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] B.P.C. (Curs de Física de Berkeley) (2020). «3», Mecànica, 2 edició (en espanyol), Reverte S.A., p. 91. ISBN 978-84-291-4282-2.

[2] Ibáñez Mengual (1989). «4.3», Universitat de Múrcia (ed.). Física, 1 edició (en espanyol), EDITUM, p. 126. ISBN 84-7684-188-4.

[3] Paul A. Tipler (1987). «6-4», Física preuniversitaria. I (en espanyol), Reverte S.A., p. 152. ISBN 84-291-4375-0.

[4] Elie Lévy (1992). «I», Diccionari Akal de Física (en espanyol), Edicions AKAL, p. 70. ISBN 97-884-460-0144-7.

[1]

[2]

[3]

[4]