Funció policonvexa

En matemàtiques, la policonvexidad és una generalisació de la noció de convexidad per a funcions definides en espais de matrius. El concepte té aplicació principalment en mecànica de sòlits deformables, en particular un requeriment físic per a l'energia de deformació d'un sòlit sol ser que siga una funció policonvexa (pero no convexa). Tota funció policonvexa és variacionalment cuasiconvexa, encara que no necessàriament convexa. El recíproc d'açò últim sí és cert, tota funció convexa és variacionalment policonvexa, de fet es té la següent cadena d'implicacions:

$f\text{ convexa}⟹f\text{ policonvexa}⟹f\text{casiconvexa}⟹f\text{convexa de rango uno}$

Definició

Sent $M_{n\times n}\approx {ℝ}^{n\times n}$ el conjunt de matrius de coeficienes reals, es diu que una funció $W:M_{n\times n}\to ℝ$ és policonvexa si existix una funció convexa:

tal que:

en:

John Ball (1977) va descobrir que la convexidad del potencial elàstic o energia de deformació elàstica du a situacions físiques inconsistentes, per lo que va postular que el potencial elàstic no pot ser una funció convexa. Ball va propondre que la noció de convexidad és massa restrictiva i deu ser substituida per una noció més dèbil. El propi Ball va trobar que un requisit raonable i menys restrictiu que permetia formular alguns resultats d'existència de solucions era el de policonvexidad.

Atres definicions

Alguns autors usen definicions de funció policonvexa una miqueta més generals que la proposta inicialment per Ball. En particular, alguns autors definixen una funció policonvexa $W:{ℝ}^{N\times n}\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$, si existix una funció $\hat{W}:{ℝ}^{\tau (N,n)}\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ tal com:

a on:

En esta definició ${\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}_s\xi$ representa la matriu de tots els menors de $s\times s$ de la matriu $\xi \in {ℝ}^{N\times n},2\le s\le n\wedge N=\min \{n,N\}$ i: