Forçat de Sacks

La tècnica de forcing, introduïda per Paul Cohen, és utilisada per a generar models de ZFC. La tècnica comença en un model $V$, conegut com modele base, despuix fixant un orde parcial $\mathbb{P}\in V$, conegut com forcing, que codifica les condicions desijades del model que es desija construir, llavors es força en $\mathbb{P}$ sobre $V$ per a obtindre un model genèric $V[G]$.

El forcing de Sacks, denotat per $𝕊$, és un d'estos órdens parcials. Va ser introduït en 1971 pel matemàtic nortamericà Gerald Enoch Sacks per a produir un real a en mínim grau real de constructibilidad (minimal real degree of constructibility). També és conegut com forcing d'arbres perfectes.

Definició del forcing de Sacks

Per a definir el forcing de Sacks, primer devem definir la noció d'arbres perfectes (un arbre $T$ de $2^{<\omega }$ és un conjunt de funcions finitas de $\omega$ en $2$ tancat baix segments inicials de tal manera que per a qualsevol funció en $T$ el conjunt d'antecessores és un orde llineal). Siga $p\subseteq 2^{<\omega }$ un arbre i $s\in p$, diem que $s$ és un nodo de ramificació (nodo splitting) de $p$ si $s^{⌢}0$, $s^{⌢}1\in p$. Per una atra part $p$ és un arbre perfecte o un arbre de Sacks si $\mathrm{\forall }s\in p\mathrm{\exists }t\in p:s\subseteq t$ i $t$ és nodo de ramificació.

D'esta manera el forcing de Sacks, denotat $𝕊$, és el conjunt de tots els arbres de Sacks ordenat per la contenció, és dir, daus $p,q\in 𝕊$, es complix que $p\le q⟺p\subseteq q$.

Real de Sacks

Donat un arbre $T$ de $2^{<\omega }$, denotem per $[T]$ al conjunt de les branques de $T$, és dir, $[T]=\{x\in 2^{\omega }|\mathrm{\exists }y\in T:y\subseteq x\}$.

Siga $G\subseteq 𝕊$ un filtre genèric. En $V[G]$ es definix al real de Sacks, $S_{gen}^G$, com l'únic element de $\bigcap _{p\in G}[p]$. Com el seu nom ho indica $𝕊⊩S_{gen}^G\in 2^{\omega }$.

És conegut que dau $p\in 𝕊$, llavors $p\in G$ si i solament si $S_{gen}^G\in [p]$. En lo que $G$ i $S_{gen}^G$ són interdefinibles, lo que implica que $V[G]=V[S_{gen}^G]$.

Més que lo anterior es complix daus $G\subseteq 𝕊$ un filtre $(V,𝕊)$-genèric i $x\in V[G]$ un real nou, existix $H\subseteq 𝕊$ filtre $(V,𝕊)$-genèric tal que $v[H]=V[G]$ i $x=S_{gen}^H$ en lo que $V[x]=V[H]=V[G]$ per tant $𝕊$ té mínim grau de constructibilidad real.

Bibliografia

Halbeisen L. J. (2012). Combinatorial Set Theory. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2173-2

Geschke S., Quickert S. (2004) On Sacks forcing and the Sacks property. In: Löwe B., Piwinger B., Räsch T. (eds) Classical and New Paradigms of Computation and their Complexity Hierarchies. Trends in Logic, vol 23. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2776-5_7