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sense resum d'edició
== Taula de les transformades de Laplace més comuns ==
La següent taula proveïx la majoria de les transformacions de Laplace per a funcions d'una sola variable. Degut a que la transformada de Laplace és un operador llineal, la transformada de Laplace d'una suma és la suma de la transformada de Laplace de cada terme.
{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} </math>}}
{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}</math>||left}}
Ací està una llista de les transformades més comunes. En ella <math>o,</math> denota a l'anomenada funció de [[Heaviside]] o funció escaló, que val 1 quan el seu argument és positiu i 0 quan el seu argument és negatiu. Quan el seu argument val 0 se li sol assignar el valor 1/2, encara que açò no té rellevància pràctica.
{| class="wikitable"
|-
! ID || Función || Domini en el temps <br /> <math>x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}</math> || Domini en la freqüència <br /> <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}</math> || Región de la convergència <br /> ''para [[sistema causal|sistemas causals]]''
|- align="center"
| 1 || retart ideal || <math> \delta(t-\tau) \ </math> || <math> e^{-\tau s} \ </math> ||
|- align="center"
| 1a || [[Funció delta de Dirac|impuls unitari]] || <math> \delta(t) \ </math> || <math> 1 \ </math> || <math> \mathrm{todo} \ s \,</math>
|- align="center"
| 2 || enèsima potència retardada y en <br />desplaçament en la freqüència || <math>\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math> || <math> \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math> || <math> s > - \alpha \, </math>
|- align="center"
| 2a || n-èsima potència || <math>{ t^n \over n! } \cdot u(t) </math> || <math> { 1 \over s^{n+1} } </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 2a.1 || q-èsima potència || <math>{ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) </math> || <math> { 1 \over s^{q+1} } </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 2a.2 || [[Función escaló unitari|escaló unitari]] || <math> u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s } </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 2b || escaló unitari en retart || <math> u(t-\tau) \ </math> || <math> { e^{-\tau s} \over s } </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 2c || Rampa || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 2d || potencia n-ésima con cambio de frecuencia || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math> || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math> s > - \alpha \, </math>
|- align="center"
| 2d.1 || [[amortiguación exponencial]] || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s+\alpha } </math> || <math> s > - \alpha \ </math>
|- align="center"
| 3 || convergencia exponencial || <math>( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math> s > 0\ </math>
|- align="center"
| 3b || exponencial doble || <math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math> || <math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math> || <math> s > -a \ y \ s > -b\ </math>
|- align="center"
| 4 || [[Seno (trigonometría)|seno]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
| 5 || [[coseno]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
| 5b || seno con fase || <math>\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)</math> || <math>\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}</math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
| 6 || [[seno hiperbólico]] || <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
|- align="center"
| 7 || [[coseno hiperbólico]] || <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
|- align="center"
| 8 || onda senoidal con <br />amortiguamiento exponencial || <math>e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
|- align="center"
| 9 || onda cosenoidal con <br />amortiguamiento exponencial || <math>e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
|- align="center"
| 10 || raíz n-ésima || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math> || <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)</math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 11 || [[logaritmo natural]] || <math> \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math> || <math> - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
| 12 || [[Función de Bessel]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math> || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math> || <math> s > 0 \, </math> <br /> <math> (n > -1) \, </math>
|- align="center"
| 13 || [[Función de Bessel|Función de Bessel modificada]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math> || <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math> || <math> s > | \omega | \, </math>
|- align="center"
| 14 || [[Función de Bessel]] <br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 || <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
|- align="center"
| 15 || [[Función de Bessel]] modificada<br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 || <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
|- align="center"
| 16 || [[Función de error]] || <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math> || <math> {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math> || <math> s > 0 \, </math>
|-
|colspan=5|'''Notas explicativas:'''
{{Columnas}}
* <math> u(t) \, </math> representa la [[función escalón unitario]].
* <math> \delta(t) \, </math> representa la [[Delta de Dirac]].
* <math> \Gamma (z) \, </math> representa la [[función gamma]].
* <math> \gamma \, </math> es la [[constante de Euler-Mascheroni]].
{{Nueva columna}}
* <math>t \, </math>, un número real, típicamente representa ''tiempo'', aunque puede representar ''cualquier'' variable independiente.
* <math>s \, </math> es la [[frecuencia angular]] [[número complejo|compleja]].
* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, y <math>\omega \,</math> son [[número real|números reales]].
* <math> n \, </math>es un [[número entero]].
{{Final columnas}}
[[sistema causal]] es un sistema donde la [[respuesta al impulso]] ''h''(''t'') es cero para todo tiempo ''t'' anterior a ''t'' = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para [[sistemas anticausal]]es. Véase también [[causalidad (física)|causalidad]].
|}