Espai tensorial

Siga I un mòdul sobre un anell conmutativo A unitari. Es denomina tensor p voltes contravariante i q voltes covariant en I a qualsevol element del producte tensorial $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$, a on $E^{*}$ és el mòdul dual de I.

Siga o un automorfisme de A-mòdul I, ${}^{t}u$ és el morfismo contragrediente de $E^{*}$, és dir l'automorfisme definit per ${}^{t}u(\phi )=\phi \circ u$. Es pot definir una acció del grup llineal GL(I) sobre $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$ per mig de:

$\begin{array}{cccc}u\cdot x=& \underbrace{(u\otimes \cdots \otimes u}& \otimes & \underbrace{{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)}(x)\\ & p& & q\end{array}$

Es denomina espai tensorial en I a qualsevol submòdul H de $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$ estable per a la llei externa $(u,x)\mapsto u\cdot x$.