Espai localment conexo

En matemàtiques, més precisament en topología, un espai topològic $X$ es diu localment conexo si para tot $x\in X$ i tot $U$entorn de $x$, existix $V\subseteq U$ entorn obert de $x$ conexo.

Similarment, $X$ es diu localment arc-conexo si para tot $x\in X$ i tot $U$ entorn de $x$, existix $V\subseteq U$ entorn obert de $x$ arcoconexo.

Donat un espai topològic $X$, i un punt $x\in X$, si para tot $U$ entorn de $x$ existix un entorn $V\subseteq U$ de $x$ (arc)conexo (sense demanar que $V$ siga obert), diem que $X$ és débilmente localment (arc)conexo en $x$.

Alguns eixemples

1. El subespacio $[0,1]\cup [2,3]$ de la recta real $R$ és localment arcoconexo, pero no conexo.

2. El pentine del topólogo és arc-conexo pero no localment arc-conexo.

3. El subespacio $Q$ de número racional en la topología de subespacio de $R$ no és conexo ni localment conexo.