Equilibri perfecte de mà temblorosa

Equilibri perfecte de mà temblorosa és un refinament del equilibri de Nash per Reinhard Selten. Un equilibri perfecte de mà temblorosa és un equilibri que tinga en conte la possibilitat de que els jugadors, a través d'un error ("esmonyida de la mà" o tremolació), poden optar per estratègies no intencionals, encara que en provabilitat casi nula.

Definició

Primer definim un joc pertorbat. Un joc pertorbat és una còpia d'un joc de base, en la restricció de que només les estratègies totalment mixtes poden ser jugades. Una estratègia totalment mixta és una estratègia mixta a on cada estratègia pura es juga en provabilitat distinta de zero. Es tracta de les "mans temblorosas" dels jugadors, que a voltes juguen una estratègia diferent a la que tenien l'intenció de jugar. A continuació, es definix un conjunt estratègia S (en un joc de base) com a mà temblorosa perfecte si hi ha una seqüència de jocs pertorbats que convergixen per al joc de base en la que hi ha una série d'equilibris de Nash que convergixen a S.

El joc representa en la següent matriu de forma normal té dos estratègies pures equilibris de Nash , a saber <Dalt, esquerra> i <avall, dreta>. No obstant, només <Dalt,Esquerra> és un equilibri perfecte de mà temblorosa.

Equilibri perfecte de mà temblorosa

	Esquerra	Dreta
Dalt	1, 1	2, 0
Avall	0, 2	2, 2

Supongam que el jugador 1 juga una estratègia mixta $(1-ϵ,ϵ)$, per a $0<ϵ<1$. El pagament esperat del jugador 2 de jugar esquerra és la següent:

$1(1-ϵ)+2ϵ=1+ϵ.$

El pagament esperat del jugador 2 de que jugue dreta és:

$0(1-ϵ)+2ϵ=2ϵ.$

Per a valors menuts de ε, el jugador 2 maximizar el seu pagament esperat per mig de la colocació d'un pes mínim en dreta i el pes màxim sobre l'esquerra. Per simetria, el jugador 1 deu colocar un pes mínim en avall si el jugador 2 està jugant l'estratègia mixta $(1-ϵ,ϵ)$. Llavors <Dalt,Esquerra> és un equilibri de mà temblorosa.

No obstant, un anàlisis similar falla per al perfil d'estratègia <Avall,Dreta>.

Supongam que el jugador 2 juga una estratègia mixta $(ϵ,1-ϵ)$. El pagament esperat del jugador 1 per jugar dalt és:

$1ϵ+2(1-ϵ)=2-ϵ.$

El pagament esperat del jugador 1 per jugar avall és:

$0(ϵ)+2(1-ϵ)=2-2ϵ.$

Per a tots els valors positius de ε, el jugador 1 maximizar el seu pagament esperat en la colocació d'un pes mínim en avall i el pes màxim en dalt. Per lo tant <Avall, Dreta> no és un equilibri perfecte de mà temblorosa, perque el jugador 2 (i, per simetria, jugador 1) maximizar el seu pagament esperat per desviar-se més a sovint a esquerra si hi ha una chicoteta possibilitat d'error en el comportament del jugador 1.

Equilibri perfecte de mà temblorosa per a dos jugadors

Per als jocs de dos jugadors, el conjunt d'equilibris perfectes temblorosa mà coincidix en el conjunt de la admisibilidad d'equilibri, és dir, els equilibris que consta de dos estratègies no dominades. En l'eixemple anterior, veem que la <D,R> equilibri imperfecte no és admissible, ya que L (débilmente) domina R per al jugador 2.

Referències

• Selten, R. (1975) A reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games. International Journal of Game Theory 4:25-55.