Equació de Washburn

En física, la equació de Washburn descriu el fluix capilar en un fes de tubos cilíndrics paralels; s'estén en alguns problemes també a la imbibición en materials porosos. L'equació du el nom d'Edward Wight Washburn;^[1] també coneguda com a equació de Lucas-Washburn , considerant que Richard Lucas^[2] va escriure un artícul similar tres anys abans, o la equació de Bell-Cameron-Lucas-Washburn, considerant el descobriment de JM Bell i FK Cameron de la forma de l'equació en 1906.^[3]

Derivació

Powder wettability measurement with the Washburn method. — Medició de la humectabilidad de la pols en el método Washburn.

En la seua forma més general, l'equació de Lucas Washburn descriu la llongitut de penetració ( $L$ ) d'un líquit en un poro capilar o tubo en el temps $t$ com $L = (D t)^{\frac{1}{2}}$ , a on $D$ és un coeficient de difusió simplificat. Esta relació, que és vàlida per a una varietat de situacions, captura l'essència de l'equació de Lucas i Washburn i mostra que la penetració capilar i el transport de decorreguts a través d'estructures porosas exhibixen un comportament difusivo similar al que ocorre en numerosos sistemes físics i químics. El coeficient de difusió $D$ està governat per la geometria del capilar aixina com per les propietats del decorregut penetrant.

$L = \sqrt{\frac{γ r \cos (ϕ) t}{2 η}}$
Símbol	Nom	Unitat
$L$	Distància de penetració en capilar	m
$η$	Viscosidad dinàmica	Pa s
$γ$	Tensió superficial	N / m
$r$	Radi de poro de capilar	m
$ϕ$	Àngul de contacte entre el líquit penetrant i el sòlit (paret del tubo)
$t$	Temps	s

L'equació de Washburn també s'utilisa comunament per a determinar l'àngul de contacte d'un líquit en una pols utilisant un tensiómetro de força.^[4]

En el cas dels materials porosos, s'han plantejat moltes qüestions tant sobre el significat físic del radi de poro calculat $r$ ^[5] com sobre la possibilitat real d'utilisar esta equació per al càlcul de l'àngul de contacte del sòlit.^[6] L'equació es deduïx per al fluix capilar en un tubo cilíndric en absència d'un camp gravitatorio, pero és suficientment precisa en molts casos quan la força capilar seguix sent significativament major que la força gravitatoria.

En el seu estudi de 1921 Washburn aplica la la Llei de Poiseuille per al moviment de decorreguts en un tubo circular. Insertant l'expressió per a un volum diferencial en térmens de la llongitut $l$ del decorregut en el tubo $d V = π r^{2} d l$ , s'obté

$\frac{δ l}{δ t} = \frac{\sum p}{8 η r^{2} l} (r^{4} + 4 ϵ r^{3})$
Símbol	Nom	Unitat	Fòrmula
$\frac{δ l}{δ t}$		m / s
$\sum p$	Suma de les pressions existents	Pa
$p_{A}$	Pressió atmosfèrica	Pa
$p_{h}$	Pressió hidrostàtica	Pa	$p_{h} = ρ g h - ρ g l \sin ψ$
$p_{c}$	Pressió equivalent per les forces de la capilaridad	Pa	$p_{c} = \frac{2 γ}{r} \cos ϕ$
$η$	Viscosidad dinàmica del líquit	Pa s
$ρ$	Densitat del líquit	kg / m³
$γ$	Tensió superficial	N / m
$ϵ$	Coeficient d'esmonyida Se supon 0 per a materials humits	m
$r$	Radi de capilaridad	m
$ψ$	Àngul del tubo sobre l'eix horisontal
$ϕ$	Àngul de contacte del líquit en el material capilar

La substitució d'estes expressions conduïx a la primera equació diferencial de primer orde per a la llongitut a la que el decorregut penetra en el tubo $l$ :

$\frac{δ l}{δ t} = \frac{[p_{A} + ρ g (h - l \sin ψ) + \frac{2 γ}{r} \cos ϕ] (r^{4} + 4 ϵ r^{3})}{8 η r^{2} l}$

Constant de Washburn

La «constant de Washburn» pot ser inclosa en l'equació de Washburn.

Es calcula de la següent manera:

\frac{1 0^{4} [\frac{μ m}{c m}] [\frac{N}{m^{2}}]}{68947.6 [\frac{d y n e s}{c m^{2}}]} = 0.1450 (38)

^[7]^[8]

Inèrcia del decorregut

En la derivació de l'equació de Washburn, l'inèrcia del líquit es despreciapor ser insignificant. Açò és evident en la dependència de la llongitut $L$ de la raïl quadrada del temps $L \propto \sqrt{t}$ que dona una velocitat arbitrariamente gran dL/dt per als menuts valors de t.

Una versió millorada de l'equació de Washburn, cridada equació de Bosanquet, té en conte l'inèrcia del líquit.^[9]

Aplicacions

Impressió per injecció de tinta

La penetració d'un líquit en el substrat que fluïx baix la seua pròpia pressió capilar pot ser calculada usant una versió simplificada de l'equació de Washburn:^[10]^[11]

l = {[\frac{γ}{η}]}^{\frac{1}{2}} {[\frac{r \cos θ}{2}]}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}

a on la relació tensió superficial-viscosidad

{[\frac{γ}{η}]}^{\frac{1}{2}}

representa la velocitat de penetració de la tinta en el substrat. En realitat, l'evaporament dels dissolvents llimita el grau de penetració dels líquits en una capa porosa i, per lo tant, per a la modelización significativa de la física de l'impressió per chorrada de tinta és convenient utilisar models que tinguen en conte els efectes de l'evaporament en una penetració capilar llimitada.

Aliments

Segons el físic i guanyador del Premi Ig Nobel de Física en 1999, Len Fisher, la «equació de Washburn» pot ser extremadament precisa per a materials més complexos, incloent galletes.^[12]^[13] Despuix d'una celebració informal cridada dia nacional d'amere de galletes, alguns artículs de periòdic varen citar l'equació com l'equació de Fisher.^[14]

La nova bomba capilar

El comportament del fluix en el capilar tradicional seguix la «equació de Washburn». Recentment s'han desenrollat noves bombes capilars en un cabal de bombeig constant independent de la viscosidad del líquit,^[15]^[16]^[17]^[18] que tenen una ventaja significativa sobre la bomba capilar tradicional, el comportament de la qual de fluix és el de Washburn, és dir, el cabal no és constant. Estos nous conceptes de bomba capilar tenen un gran potencial per a millorar el rendiment de la prova de fluix lateral.

Referències

↑ Edward W. Washburn (1921). “The Dynamics of Capillary Flow”. Physical Review 17 (3). doi:10.1103/PhysRev.17.273. Bibcode: 1921PhRv...17..273W.
↑ Lucas, R. (1918). “Ueber dones Zeitgesetz dones Kapillaren Aufstiegs von Flussigkeiten”. Kolloid Z. 23. doi:10.1007/bf01461107.
↑ “The flow of liquids through capillary spaces” (1906). J. Phys. Chem. 10 (8): 658–674. doi:10.1021/j150080a005.
↑ “Techniques for determining contact angle and wettability of powders” (en) . Powder Technology 287: 201–215. doi:10.1016/j.powtec.2015.10.002.
↑ Dullien, F. A. L. (1979). Porous Mija: Fluïu Transport and Pore Structure., New York: Academic Press. ISBN 978-0-12-223650-1.
↑ (2006) «Wettability of porous materials. II. Ca we obtain the contact angle from the Washburn equation?», Mittal, K. L. (ed.). Contact Angle, Wettability and Adhesion, Mass. VSP.
↑ Micromeritics, "Autopore IV User Manual", September (2000). Section B, Appendix D: Data Reduction, page D-1. (Note that the addition of 1N/m2 is not given in this reference, merely implied)
↑ Micromeritics, “A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures” (1970). Journal of the ACM 17 (4): 589–602. doi:10.1145/321607.321609.
↑ “Influence of inertia on liquid absorption into paper coating structures” (2000). Nordic Pulp & Paper Research Journal 15 (5): 422–430. doi:10.3183/npprj-2000-15-05-p422-430.
↑ (1982) «Wetting and Penetration of Paper Surfaces», Colloids and Surfaces in Reprographic Technology (vol. 200), pp. 435–453. doi:10.1021/bk-1982-0200.ch022. ISBN 978-0-8412-0737-0.
↑ “Surface-modified and micro-encapsulated pigmented inks for ink jet printing on textile fabrics” (2008). Progress in Organic Coatings 62 (2): 145–161. doi:10.1016/j.porgcoat.2007.10.005. ISSN 0300-9440.
↑ «The 1999 Ig Nobel Prize Ceremony». Improvable Research. «Len Fisher, discoverer of the optimal way to dunk a biscuit.»
↑ «No more flunking on dunking». BBC News (25 de novembre de 1998).
↑ “Physics takes the biscuit” . Nature 397 (6719). doi:10.1038/17203. Bibcode: 1999Natur.397..469F. “Washburn will be turning in his greu to learn that the mija have renamed his work the "Fisher equation".”
↑ “Viscosity Independent Paper Microfluidic Imbibition” (2016). MicroTAS 2016, Dublin, Ireland.
↑ “Capillary Pumping Independent of Liquid Sample Viscosity” (2016). Langmuir 32 (48): 12650–12655. doi:10.1021/acs.langmuir.6b03488. PMID 27798835.
↑ (2017) Capillary pumping with a constant flow rate independent of the liquid sample viscosity and surface energy, pp. 339–341. doi:10.1109/MEMSYS.2017.7863410. ISBN 978-1-5090-5078-9.
↑ “Capillary pumping independent of the liquid surface energy and viscosity” (2018). Microsystems & Nanoengineering 4 (1): 2. doi:10.1038/s41378-018-0002-9. PMID 31057892. Bibcode: 2018MicNa...4....2G.

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de Washburn» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[washburn-1] Edward W. Washburn (1921). “The Dynamics of Capillary Flow”. Physical Review 17 (3). doi:10.1103/PhysRev.17.273. Bibcode: 1921PhRv...17..273W.

[Lucas-2] Lucas, R. (1918). “Ueber dones Zeitgesetz dones Kapillaren Aufstiegs von Flussigkeiten”. Kolloid Z. 23. doi:10.1007/bf01461107.

[BellCameron-3] “The flow of liquids through capillary spaces” (1906). J. Phys. Chem. 10 (8): 658–674. doi:10.1021/j150080a005.

[4] “Techniques for determining contact angle and wettability of powders” (en) . Powder Technology 287: 201–215. doi:10.1016/j.powtec.2015.10.002.

[Dullien-5] Dullien, F. A. L. (1979). Porous Mija: Fluïu Transport and Pore Structure., New York: Academic Press. ISBN 978-0-12-223650-1.

[Brugnara-6] (2006) «Wettability of porous materials. II. Ca we obtain the contact angle from the Washburn equation?», Mittal, K. L. (ed.). Contact Angle, Wettability and Adhesion, Mass. VSP.

[7] Micromeritics, "Autopore IV User Manual", September (2000). Section B, Appendix D: Data Reduction, page D-1. (Note that the addition of 1N/m2 is not given in this reference, merely implied)

[8] Micromeritics, “A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures” (1970). Journal of the ACM 17 (4): 589–602. doi:10.1145/321607.321609.

[9] “Influence of inertia on liquid absorption into paper coating structures” (2000). Nordic Pulp & Paper Research Journal 15 (5): 422–430. doi:10.3183/npprj-2000-15-05-p422-430.

[Oliver1982-10] (1982) «Wetting and Penetration of Paper Surfaces», Colloids and Surfaces in Reprographic Technology (vol. 200), pp. 435–453. doi:10.1021/bk-1982-0200.ch022. ISBN 978-0-8412-0737-0.

[LeelajariyakulNoguchi2008-11] “Surface-modified and micro-encapsulated pigmented inks for ink jet printing on textile fabrics” (2008). Progress in Organic Coatings 62 (2): 145–161. doi:10.1016/j.porgcoat.2007.10.005. ISSN 0300-9440.

[12] «The 1999 Ig Nobel Prize Ceremony». Improvable Research. «Len Fisher, discoverer of the optimal way to dunk a biscuit.»

[13] «No more flunking on dunking». BBC News (25 de novembre de 1998).

[14] “Physics takes the biscuit” . Nature 397 (6719). doi:10.1038/17203. Bibcode: 1999Natur.397..469F. “Washburn will be turning in his greu to learn that the mija have renamed his work the "Fisher equation".”

[synthetic_paper_pump-15] “Viscosity Independent Paper Microfluidic Imbibition” (2016). MicroTAS 2016, Dublin, Ireland.

[viscosity_independent_pump-16] “Capillary Pumping Independent of Liquid Sample Viscosity” (2016). Langmuir 32 (48): 12650–12655. doi:10.1021/acs.langmuir.6b03488. PMID 27798835.

[liquid_properties_independent_pump_1-17] (2017) Capillary pumping with a constant flow rate independent of the liquid sample viscosity and surface energy, pp. 339–341. doi:10.1109/MEMSYS.2017.7863410. ISBN 978-1-5090-5078-9.

[liquid_properties_independent_pump_2-18] “Capillary pumping independent of the liquid surface energy and viscosity” (2018). Microsystems & Nanoengineering 4 (1): 2. doi:10.1038/s41378-018-0002-9. PMID 31057892. Bibcode: 2018MicNa...4....2G.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]