Doble radical

En matemàtica a les expressions de la forma

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$, li les denomina doble radical a on A i B són número racional positius.

Eixemples

1. $\sqrt{2-\sqrt{2}}$
2. $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

El costat l d'un pentàgon regular inscrit en una circumferència de ràdio r, es calcula en la fòrmula

$l=\frac{r}{2}\sqrt{10-\sqrt{20}}$

Transformació en radicals simples

En este cas es tracta d'expressar per mig de la suma o diferència de radicals simples

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{s}\pm \sqrt{t}$

Plantejant les equacions adequades s'obté

$s=\frac{A+C}{2}$ i $t=\frac{A-C}{2}$ a on $C^2=A^2-B$

De modo que $\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$

Eixemple

Descompondre $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

A = 4, B = 7

: $C^2=4^2-7=9$; d'a on C = 3.

$\sqrt{\frac{A+C}{2}}=\sqrt{\frac{4+3}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}$

$\sqrt{\frac{A-C}{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

Condicions

1. A i B racionals positius
2. A² > B
3. A > C
4. A² - B, deu ser quadrat perfecte. per a obtindre C.