Desigualtat de Schur

En matemàtiques, la desigualtat de Schur, descoberta per Issai Schur, establix que para tots els número real no negatius x, i, z i t:

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

en igualtat si i només si x = i = z o si dos d'ells són iguals i l'atre és zero. Quan t és número natural parell, la desigualtat es complix per a qualssevol número real x, i i z.

Prova

Per la simetria es pot supondre sense pèrdua de generalitat que $x\ge y\ge z$. Llavors és clar que

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

es complix, ya que cap terme és negatiu. Al reordenar la desigualtat apleguem al resultat desijat.