Desigualtat de Bernoulli

Erro al crear miniatura:

Ilustració de la desigualtat de Bernoulli per a n=3. Ací, la gràfica roja correspon a (1+x)³ i esta mai és menor que la gràfica blava, corresponent a 1+3x.

La desigualtat de Bernoulli és aquella que s'establix entre número real.

La desigualtat de Bernoulli té generalisacions i variants:

• Si l'exponent és parell, llavors la desigualtat és vàlida per a qualsevol número real a.
• Si l'exponent és un número real β llavors

$(1+y{)}^{\beta }\ge 1+\beta \cdot y$, si $y\ge -1$ i $\beta \le 0$ o $\beta \ge 1$

mentres que

$(1+y{)}^{\beta }\le 1+\beta \cdot y$, si $y\ge -1$ i $0\le \beta \le 1$.

La desigualtat de Bernoulli és de particular rellevància puix en numeroses ocasions funciona com a lema intermig en la prova de resultats de càlcul més complexos.

Prova de la desigualtat

La demostració s'efectua únicament per a n, número natural.

Per a n = 1,

$(1+x{)}^1\ge 1+1\cdot x$

la qual cosa és equivalent a 1+x ≥ 1+x

Ara, suponga's que l'enunciat és vàlit per a n = k:

$(1+x{)}^k\ge 1+kx.$

Després es provarà per a n = k+1:

$\begin{array}{cc}& (1+x)(1+x{)}^k\ge (1+x)(1+kx)\text{(por hipótesis, debido a que }(1+x)\ge 0)\\ & ⟺(1+x{)}^{k+1}\ge 1+kx+x+k{x}^2,\\ & ⟺(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x+k{x}^2.\end{array}$

No obstant, com 1 + (k + 1)x + kx² ≥ 1 + (k + 1)x (perque kx² ≥ 0), es té que (1 + x)^k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x, la qual cosa significa que l'enunciat és cert per a n = k + 1.

Per inducció es conclou que l'enunciat és cert per a tot  n ≥ 1.