Criteri de la mija geomètrica

En matemàtiques, el criteri de la mija geomètrica és un criteri per a provar la convergència que permet la resolució de llímits del tipo $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \mathrm{...}\cdot a_n}$.

Criteri de la mija geomètrica

Siga $\{a_n\}$ una successió de reals positius en $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$, sent $A>0$. Llavors, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \mathrm{...}\cdot a_n}=A$.

El criteri també és cert si $A=+\mathrm{\infty }$.

Eixemple

Com la successió $a_n=\frac{n^2+2}{2n^2}$ convergix a 1/2, llavors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{3}{2}\cdot \frac{6}{8}\cdot \mathrm{...}\frac{n^2+2}{2n^2}}=\frac{1}{2}$