Criteri de Cramér-von Mises

En estadística el criteri de Cramér-von Mises s'ampra per a jujar la bondat d'una funció de distribució acumulada $F^{*}$ comparada en una funció de distribució empírica $F_n$, o per a comparar dos distribucions empíriques. També s'utilisa com a part d'atres algoritmes, tal com l'estimació de la distància mínima. Es definix com:

${\omega }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[F_n(x)-F^{*}(x){]}^2\mathrm{d}{F}^{*}(x)$

Aplicant-ho a una única mostra, $F^{*}$ és la distribució teòrica i $F_n$ és l'empírica. Alternativament les dos distribucions poden ser estimades empíricamente; açò es coneix com un cas de dos mostres.

El criteri du els llinages d'Harald Cramér i Richard Edler von Mises, els qui varen anar els primers en expondre-ho entre els anys 1928-1930. La generalisació de les dos mostres és obra de Theodore Wilbur Anderson.

El criteri és una alternativa al test de Kolmogorov-Smirnov.

Test de Cramér-von Mises (una mostra)

Sean $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ els valors observats, en orde creixent. Llavors l'estadístic és

$T=n{\omega }^2=\frac{1}{12n}+\sum _{i=1}^n{[\frac{2i-1}{2n}-F(x_i)]}^2.$

Si este valor és major que el valor tabulado, es pot rebujar l'hipòtesis de que les senyes provenen de la distribució $F$

Test de Watson

Una versió modificada del criteri és el test de Watson, el qual usa l'estadístic O², a on

$U^2=T-n(\overline{F}-\frac{1}{2}{)}^2,$

a on

$\overline{F}=\frac{1}{n}\sum F(x_i).$

Test de Cramér–von Mises (dos mostres)

Sean $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ i $y_1,y_2,\cdots ,y_M$ els valors observats en la primera i segona mostra respectivament, en orde creixent. Sean $r_1,r_2,\cdots ,r_N$ els rancs de x en la mostra combinada, i siguen $s_1,s_2,\cdots ,s_M$ els rancs de i en la mostra combinada. Anderson mostra que

$T=N{\omega }^2=\frac{U}{NM(N+M)}-\frac{4MN-1}{6(M+N)}$

a on O es definix com

$U=N\sum _{i=1}^N(r_i-i{)}^2+M\sum _{j=1}^M(s_j-j{)}^2$

Si el valor de T és major que els valors tabulados, es pot rebujar l'hipòtesis de que les dos mostres provenen de la mateixa distribució. Açò implica que no hi ha duplicats en $x$, $y$, i en les seqüències $r$. Per tant $x_i$ és única, i el seu ranc és $i$ en $x_1,\mathrm{...}{x}_N$. Si hi ha duplicats, i $x_i$ en $x_j$ són valors idèntics, a on es pot utilisar l'enfocament del mig ranc método: assignar a cada duplicat un ranc de $(i+j)/2$. En les equacions precedents, en les expressions $(r_i-i{)}^2$ i $(s_j-j{)}^2$, els duplicats poden alterar les quatre variables $r_i$, $i$, $s_j$, i $j$.

Bibliografia

• M. A. Stephens (1986). «Tests Based on EDF Statistics», D'Agostino, R.B. and Stephens, M.A. (ed.). Goodness-of-Fit Techniques, New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7487-6.
• Pearson, E.S., Hartley, H.O. (1972) Biometrika Tables for Statisticians, Volume 2, CUP. ISBN 0-521-06937-8 (page 118 and Table 54)
• Ruymgaart, F. H., (1980) "A unified approach to the asymptotic distribution theory of certain midrank statistics". In: Statistique senar Parametrique Asymptotique, 1±18, J. P. Raoult (Ed.), Lecture Notes on Mathematics, No. 821, Springer, Berlín.
• Watson, G.S. (1961) "Goodness-Of-Fit Tests on a Circle", Biometrika, 48 (1/2), 109-114