Coeficient de diferències finitas

En matemàtiques, per a aproximar la derivada d'una funció en un orde arbitrari d'exactitut, és possible d'utilisar el método de diferències finitas. Este pot ser central, cap a davant o cap a arrere.

Diferència finita central

Si $f\left(x\right)$ és una funció contínua i diferenciable, i $h_x$ és un interval finit al voltant de $x_0$, l'aproximació d'una derivada enèsima de la funció $f$ en un orde de precisió $m$, pot representar-se de manera general pel método de diferències finitas centrals com

$f^{(n)}\left(x_0\right)\approx \frac{\sum _{i=-\lfloor \frac{m+n-1}{2}\rfloor }^{\lfloor \frac{m+n-1}{2}\rfloor }{c}_i^{(n,m)}f(x_0+i{h}_x)}{h_x^n}+O\left(h_x^m\right)$

a on els coeficients $c_i^{(n,m)}$ són específics per a cada derivada depenent de l'orde de precisió. Ademés, $\lfloor y\rfloor$ implica que el valor està redonejat al valor sancer menor que $y$.

La següent taula conté els respectius coeficients per al càlcul de derivades d'una funció per diferències finitas centrals, per a varis órdens de precisió:

Orde de la derivada	Orde de precisió	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
1	2				−1/2	0	1/2
	4			1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6		−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8	1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2				1	−2	1
	4			−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6		1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8	−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2			−1/2	1	0	−1	1/2
	4		1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6	−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2			1	−4	6	−4	1
	4		−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6	7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2		−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
6	2		1	−6	15	−20	15	−6	1

Per eixemple, la tercera derivada en un orde d'exactitut de segon grau és

$f^{‴}(x_0)\approx \frac{-\frac{1}{2}f(x_0-2h_x)+f(x_0-h_x)-f(x_0+h_x)+\frac{1}{2}f(x_0+2h_x)}{h_x^3}+O\left(h_x^2\right)$

a on $h_x$ representa el pas finit entre cada interval de diferències finitas.

Diferència finitas cap a davant i arrere

De manera anàloga al método de diferències finitas centrals, és possible escriure l'aproximació de l'enèsima derivada pel método de diferències finitas cap a avant com

$f^{(n)}\left(x_0\right)\approx \frac{\sum _{i=0}^{m+n-1}{a}_i^{(n,m)}f(x_0+i{h}_x)}{h_x^n}+O\left(h_x^m\right)$

a on $a_i^{(n,m)}$ són els coeficients corresponents per a este método. Alguns d'estos es mostren en la següent taula :

Orde de la derivada	Orde de precisió	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Per eixemple, pel método de diferències finitas cap a davant les derivades primera i segona en una precisió de tercer i segon orde, respectivament, són

$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{-\frac{11}{6}f(x_0)+3f(x_0+h_x)-\frac{3}{2}f(x_0+2h_x)+\frac{1}{3}f(x_0+3h_x)}{h_x}+O\left(h_x^3\right)$

$f^{″}(x_0)\approx \frac{2f(x_0)-5f(x_0+h_x)+4f(x_0+2h_x)-f(x_0+3h_x)}{h_x^2}+O\left(h_x^2\right)$

Mentres que les mateixes aproximacions obtingudes pel método de diferències finitas cap a arrere estan donades per

$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{\frac{11}{6}f(x_0)-3f(x_0-h_x)+\frac{3}{2}f(x_0-2h_x)-\frac{1}{3}f(x_0-3h_x)}{h_x}+O\left(h_x^3\right)$

$f^{″}(x_0)\approx \frac{-2f(x_0)+5f(x_0-h_x)-4f(x_0-2h_x)+f(x_0-3h_x)}{h_x^2}+O\left(h_x^2\right)$

En general, conseguir els coeficients de l'aproximació cap a arrere és molt simple. Per a les derivades d'orde parell ($n$ = 2, 4, 6...) són els mateixos que per a l'aproximació cap a davant. Per un atre costat, per a les derivades d'orde impar ($n$ = 1, 3, 5...) n'hi ha prou en canviar el signe dels coeficients llistats en la taula anterior.

La taula següent ilustra açò de manera resumida:

Orde de la derivada	Orde de precisió	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Vore també

• Método de diferència finita
• Diferència finita
• Sténcil de cinc punts