Arbre de provabilitat

Arbre de provabilitat

Un arbre de provabilitat o diagrama d'arbre és una ferramenta que s'utilisa per a saber qué tant pots prevore o calcular les possibilitats de que ocórrega un event. En el càlcul de moltes opcions es requerix conéixer el número d'objectes que formen part del espai manifestat, estos es poden determinar en la construcció o representació d'un diagrama d'arbre.

El diagrama d'arbre és una representació gràfica dels possibles resultats de l'experiment, el qual consta d'una série de passos, a on cada u d'estos té un número infinit de maneres de ser portat a terme. S'utilisa en els problemes de conteo i provabilitat.

Per a la construcció d'un diagrama en arbre es partirà posant una branca per a cada una de les possibilitats, acompanyada de la seua provabilitat. Cada una d'estes branques es coneix com a branca de primera generació.

En el final de cada branca de primera generació es constituïx, un nuc del com partixen noves branques conegudes com a branques de segona generació, segons les possibilitats del següent pas, llevat si el nuc representa un possible final de l'experiment (nuc final).

Cal tindre en conte que la construcció d'un arbre no depén de tindre el mateix número de branques de segona generació que ixen de cada branca de primera generació i que la suma de provabilitats de les branques de cada nuc ha de donar 1.

Existix un principi senzill dels diagrames d'arbre que fa que estos siguen molt més útils per als càlculs ràpits de provabilitat: multipliquem les provabilitats si es tracta de branques adjacents (contigües), l'eixemple d'alumna de la primera facultat, o be les vàrem sumar si es tracta de branques separades que emergixen d'un mateix punt, l'eixemple de trobar un alumne.

Eixemples

Una universitat està formada per tres facultats:

• La 1ª en el 50% d'estudiants.
• La 2ª en el 25% d'estudiants.
• La 3ª en el 25% d'estudiants.

Les dònes estan repartides uniformement, sent un 60% del total en cada facultat.

Erro al crear miniatura:

¿Provabilitat de trobar una alumna de la primera facultat?

Erro al crear miniatura:

$P(alumnadela{1}^{a}facultad)=0,5\cdot 0,6=0,3$

¿Provabilitat de trobar un alumne varó?

Erro al crear miniatura:

$P(alumnovar\acute{o}n)=0,5\cdot 0,4+0,25\cdot 0,4+0,25\cdot 0,4=0,4$ Pero també podria ser lo contrari.

Relació en provabilitat condicionada

Esta ferramenta està fonamentada en el càlcul de provabilitats condicionades.

• Per eixemple: podem identificar el 0,6 que trobem en la branca que va de 1ª facultat a dòna com la següent provabilitat condicionada:

$P(mujer\mid 1^{a}facultad)=0.6$

• També esta ferramenta es relaciona en algunes teoremes de la provabilitat condicionada

Ya que les tres facultats formen una partició de l'espai mostral podem indicar com:

$P(alumnovar\acute{o}n)=P(var\acute{o}n\mid 1^{a}facultad)\cdot P(1^{a}facultad)+P(var\acute{o}n\mid 2^{a}facultad)\cdot P(2^{a}facultad)+P(var\acute{o}n\mid 3^{a}facultad)\cdot P(3^{a}facultad)$

$P(alumnovar\acute{o}n)=0.5\cdot 0.4+0.25\cdot 0.4+0.25\cdot 0.4=0.4$