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== Taula de les transformades de Laplace més comuns ==
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La següent taula proveïx la majoria de les transformacions de Laplace per a funcions d'una sola variable. Degut a que la transformada de Laplace és un operador llineal, la transformada de Laplace d'una suma és la suma de la transformada de Laplace de cada terme.
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{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\}  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}  </math>}}
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{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\}  = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}</math>||left}}
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Ací està una llista de les transformades més comunes. En ella <math>o,</math> denota a l'anomenada funció de [[Heaviside]] o funció escaló, que val 1 quan el seu argument és positiu i 0 quan el seu argument és negatiu. Quan el seu argument val 0 se li sol assignar el valor 1/2, encara que açò no té rellevància pràctica.
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{| class="wikitable"
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! ID || Función || Domini en el temps <br /> <math>x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}</math> || Domini en la freqüència <br /> <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}</math> || Región de la convergència <br /> ''para [[sistema causal|sistemas causals]]''
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| 1 || retart ideal || <math> \delta(t-\tau) \ </math> || <math> e^{-\tau s} \ </math> ||
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| 1a || [[Funció delta de Dirac|impuls unitari]] || <math> \delta(t) \ </math> || <math> 1 \ </math> || <math> \mathrm{todo} \  s \,</math>
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| 2 || enèsima potència retardada y en <br />desplaçament en la freqüència  ||  <math>\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math>  ||  <math> \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math> ||  <math> s > - \alpha  \, </math>
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| 2a ||  n-èsima potència  ||  <math>{  t^n \over n! } \cdot u(t) </math>  ||  <math> { 1 \over s^{n+1} } </math> ||  <math> s > 0 \, </math>
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|- align="center"
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| 2a.1 ||  q-èsima potència  ||  <math>{  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) </math>  ||  <math> { 1 \over s^{q+1} } </math> ||  <math> s > 0 \, </math>
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|- align="center"
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| 2a.2 || [[Función escaló unitari|escaló unitari]] || <math> u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s } </math> ||  <math> s > 0 \, </math>
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|-  align="center"
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| 2b || escaló unitari en retart || <math> u(t-\tau) \ </math> || <math> { e^{-\tau s} \over s } </math> || <math> s > 0 \, </math>
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|-  align="center"
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| 2c || Rampa              || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> s > 0 \, </math>
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|- align="center"
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| 2d ||  potencia n-ésima con cambio de frecuencia  || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>  || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math>  ||  <math> s > - \alpha \, </math>
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|-  align="center"
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| 2d.1  || [[amortiguación exponencial]]  || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \ </math>  || <math> { 1 \over s+\alpha } </math>  || <math>  s > - \alpha \ </math>
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|-  align="center"
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| 3 || convergencia exponencial  || <math>( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math>  s > 0\ </math>
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|-  align="center"
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| 3b || exponencial doble || <math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math> || <math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math> || <math>  s > -a \ y \ s > -b\ </math>
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|-  align="center"
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| 4  || [[Seno (trigonometría)|seno]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2  } </math> || <math> s > 0  \ </math>
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|-  align="center"
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| 5 || [[coseno]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>  || <math> { s \over s^2 + \omega^2  } </math>    || <math> s > 0 \ </math>
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|-  align="center"
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| 5b || seno con fase || <math>\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)</math>  || <math>\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}</math>    || <math> s > 0 \ </math>
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|-  align="center"
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| 6 || [[seno hiperbólico]]  ||  <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>  || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math>  ||  <math> s > | \alpha | \ </math>
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|-  align="center"
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| 7 ||  [[coseno hiperbólico]] ||  <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>  ||  <math> { s \over s^2 - \alpha^2  } </math>    ||  <math> s > | \alpha | \ </math>
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|-  align="center"
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| 8 ||  onda senoidal con <br />amortiguamiento exponencial ||  <math>e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>  ||  <math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>  ||  <math> s > -\alpha \ </math>
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|-  align="center"
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| 9 ||  onda cosenoidal con <br />amortiguamiento exponencial  ||  <math>e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>  ||  <math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>  ||  <math> s > -\alpha \ </math>
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|-  align="center"
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| 10 ||  raíz n-ésima  || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math>  ||  <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)</math>  || <math> s > 0 \, </math>
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|-  align="center"
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| 11 ||  [[logaritmo natural]] ||  <math> \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math>  ||  <math> - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math>  ||  <math> s > 0 \, </math>
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|-  align="center"
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| 12 ||  [[Función de Bessel]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' ||  <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math>  || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math>  ||  <math> s > 0 \, </math>  <br /> <math> (n > -1) \, </math>
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| 13 ||  [[Función de Bessel|Función de Bessel modificada]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' ||  <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math>  ||  <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math>  ||  <math> s > | \omega | \, </math>
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| 14 ||  [[Función de Bessel]] <br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 ||  <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>  ||  &nbsp; ||  &nbsp;
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| 15 || [[Función de Bessel]] modificada<br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 ||  <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>  ||  &nbsp;  || &nbsp;
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| 16 ||  [[Función de error]]  ||  <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math>  ||  <math>    {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math>  ||  <math> s > 0 \, </math>
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|colspan=5|'''Notas explicativas:'''
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{{Columnas}}
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* <math> u(t) \, </math> representa la [[función escalón unitario]].
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* <math> \delta(t) \, </math> representa la [[Delta de Dirac]].
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* <math> \Gamma (z) \, </math> representa la [[función gamma]].
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* <math> \gamma \, </math> es la [[constante de Euler-Mascheroni]].
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{{Nueva columna}}
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* <math>t \, </math>, un número real, típicamente representa ''tiempo'', aunque puede representar ''cualquier'' variable independiente.
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* <math>s \, </math> es la [[frecuencia angular]] [[número complejo|compleja]].
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* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, y <math>\omega \,</math> son [[número real|números reales]].
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* <math> n \, </math>es un [[número entero]].
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{{Final columnas}}
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[[sistema causal]] es un sistema donde la [[respuesta al impulso]] ''h''(''t'') es cero para todo tiempo ''t'' anterior a ''t'' = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para [[sistemas anticausal]]es. Véase también [[causalidad (física)|causalidad]].
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