2744
edicions
Canvis
sense resum d'edició
Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.
Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.
== Propietats ==
==== Linealitat ====
{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>}}
==== Derivació ====
{{equació|<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
= s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>.}}
{{equació|<math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>}}
{{equació|<math> \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0) </math> <math> = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) </math>}}
==== Integració ====
{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>}}
==== Dualitat ====
:<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}
= -F'(s)</math>
==== Desplaçament de la freqüència ====
: <math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =
F(s-a)</math>
{{ORDENAR:}}==== Desplaçament temporal ====
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
= e^{-as} F(s)</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) u(t - a)</math>
Nota: <math>u(t)</math> es la [[funció escaló unitari]].
==== Desplaçament potència ''n''-ésima ====
: <math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]</math>
==== Convolució ====
: <math>\mathcal{L}\{f*g\}
= F(s)G(s)</math>
==== Transformada de Laplace d'una funció en periodo ''p'' ====
{{ecuación|<math>\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>}}
==== Condicions de convergència ====
: <math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math> (que crece más rápido que <math>e^{-st}</math>) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que <math>e^{t^2}</math>, es una función de orden exponencial de ángulos.
==== Teorema del valor inicial ====
Sea una función <math> f\in\varepsilon</math> derivable a trozos y que <math>f^{\prime}\in\varepsilon.</math> Entonces :
<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math>
<math> \varepsilon</math> es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
==== Teorema del valor final ====
Sea<math>f\in\varepsilon</math> una función derivable a trozos tal que <math>f^{\prime}\in\varepsilon</math>.Entonces :
<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math>
<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial.