Teorema dels sens

Teorema del sen.

En trigonometria, la teorema dels sens o també conegut com a llei dels sens és una relació de proporcionalitat entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus respectius ànguls oposts. Usualment es presenta de la següent forma: Plantilla:T.

Demostració

A pesar de ser dels teoremas trigonomètrics més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.

La teorema dels sens establix que a/sen(A) és constant.

Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.

Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició de arc capaç). Per definició de la funció trigonomètrica sen, es té

{{{1}}}

on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:

{{{1}}}

.

Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.

La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix:

Per a un triàngul ABC on a, b, c són els costats oposts als ànguls A, B, C respectivament, si R denota el radi de la circumferència circumscrita, llavors: {{{1}}}

Vore també

• Trigonometria
  • Triangulació
  • Trigonometria esfèrica
  • Funció trigonomètrica
• Geometria del triàngul
  • Teorema del cosen
  • Teorema de Pitàgores

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Teorema de los senos de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.