Edició de «Transformada de Laplace»
Anar a la navegació
Anar a la busca
Advertencia: No has iniciat sessió. La teua direcció IP serà visible públicament si realises qualsevol edició. Si inicies sessió o crees un conte, les teues edicions s'atribuiran al teu nom d'usuari, junt en atres beneficis.
Pot desfer-se la modificació. Per favor, revisa la comparació més avall per a assegurar-te que es lo que vols fer; llavors deixa els canvis per a la finalisació de la desfeta de l'edició.
Revisió actual | El teu text | ||
Llínea 19: | Llínea 19: | ||
||left}} | ||left}} | ||
− | La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existix per a tots els @número real ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depén del comportament de creiximent de ''f''(''t'').<br /><math>mathcal{L}</math> és | + | La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existix per a tots els @número real ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depén del comportament de creiximent de ''f''(''t'').<br /><math>mathcal{L}</math> és cridat el ''[[operador]] de la transformada de Laplace''. |
== Perspectiva històrica == | == Perspectiva històrica == | ||
− | La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del [[matemàtic]] [[França|francés]] [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins | + | La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del [[matemàtic]] [[França|francés]] [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins del seu [[teoria de la provabilitat]]. En 1744, [[Leonhard Euler]] havia investigat un conjunt d'integrals de la forma: |
{{equació| | {{equació| | ||
Llínea 35: | Llínea 35: | ||
||left}} | ||left}} | ||
− | — que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace. Este tipo d'integrals varen atraure l'atenció de Laplace quan, en | + | — que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace. Este tipo d'integrals varen atraure l'atenció de Laplace quan, en 1782, i seguint l'idea de *Euler, va tractar d'amprar estes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla ser que en 1785 va donar un pas més allà, i *reenfocó el problema para en lloc d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal i com hui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma: |
{{equació|<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>||left}} | {{equació|<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>||left}} | ||
Llínea 61: | Llínea 61: | ||
||left}} | ||left}} | ||
− | Heaviside va publicar els seus resultats, l'utilitat dels quals a l'hora de resoldre equacions de la física i l'ingenieria va fer que pronte s'estengueren. No obstant, el treball de Heaviside, formal i poc rigorós, va atraure les crítiques d'alguns matemàtics puristes que els varen rebujar argumentant que els resultats de *Heaviside no podien sorgir de tal forma. No obstant, l'èxit del método va fer que pronte fora adoptat per ingeniers i físics de tot lo món, de manera que al final va atraure l'atenció de cert número de matemàtics tractant de justificar el método de manera rigorosa. Despuix de vàries décades d'intents, es va descobrir que la Transformada descoberta per Laplace feya un sigle no solament oferia un fonament teòric al método de càlcul operacional de *Heaviside, sino que ademés oferia una alternativa molt més sistemàtica a tals métodos. | + | Heaviside va publicar els seus resultats, l'utilitat dels quals a l'hora de resoldre equacions de la física i l'ingenieria va fer que pronte s'estengueren. No obstant, el treball de *Heaviside, formal i poc rigorós, va atraure les crítiques d'alguns matemàtics puristes que els varen rebujar argumentant que els resultats de *Heaviside no podien sorgir de tal forma. No obstant, l'èxit del método va fer que pronte fora adoptat per ingeniers i físics de tot lo món, de manera que al final va atraure l'atenció de cert número de matemàtics tractant de justificar el método de manera rigorosa. Despuix de vàries décades d'intents, es va descobrir que la Transformada descoberta per Laplace feya un sigle no solament oferia un fonament teòric al método de càlcul operacional de *Heaviside, sino que ademés oferia una alternativa molt més sistemàtica a tals métodos. |
+ | |||
+ | Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre. | ||
− | |||
== Propietats == | == Propietats == | ||
Llínea 108: | Llínea 109: | ||
==== Condicions de convergència ==== | ==== Condicions de convergència ==== | ||
− | : <math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math> (que | + | : <math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math> (que crece más rápido que <math>e^{-st}</math>) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que <math>e^{t^2}</math>, es una función de orden exponencial de ángulos. |
==== Teorema del valor inicial ==== | ==== Teorema del valor inicial ==== | ||
− | Sea una función <math> f\in\varepsilon</math> derivable a | + | Sea una función <math> f\in\varepsilon</math> derivable a trozos y que <math>f^{\prime}\in\varepsilon.</math> Entonces : |
<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math> | <math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math> | ||
− | <math> \varepsilon</math> | + | <math> \varepsilon</math> es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial. |
==== Teorema del valor final ==== | ==== Teorema del valor final ==== | ||
− | + | Sea<math>f\in\varepsilon</math> una función derivable a trozos tal que <math>f^{\prime}\in\varepsilon</math>.Entonces : | |
<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math> | <math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math> | ||
Llínea 124: | Llínea 125: | ||
<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial. | <math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||