Q-identitat de Vandermonde

Plantilla:Minúscules En matemàtiques, en el camp de la combinatòria, la q-identitat de Vandermonde és una q-anàlec de l'identitidad de Chu–Vandermonde, que rep el seu nom del matemàtic francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Utilisant la notació estàndar per als coeficients q-binomiales, l'identitat pren la forma següent

{(\binom{m + n}{k})}_{q} = \sum_{j} {(\binom{m}{k - j})}_{q} {(\binom{n}{j})}_{q} q^{j (m - k + j)} .

Les contribucions no nules a esta suma provenen dels valors de j tals que les seues q-coeficients en el costat dret de l'equació són distints de zero, és dir, $max(0, k - m) \leq j \leq min(n, k).$

Atres convenis

Com és típic de les q-analogia, la q-identitat de Vandermonde pot ser reescrita de distintes maneres. En els convenis comuns en aplicacions de grups quàntics, s'utilisa un q-coeficient binomial diferent. Este q-coeficient binomial, denotat ací per $B_{q} (n, k)$ , es definix per

B_{q} (n, k) = q^{- k (n - k)} {(\binom{n}{k})}_{q^{2}} .

En particular, és l'únic canvi del q-coeficient binomial "habitual" per una potència de q que és simètrica en q i en $q^{- 1}$ . L'us d'este q-coeficient binomial, permet que la q-identitat de Vandermonde es puga escriure en la forma

B_{q} (m + n, k) = q^{n k} \sum_{j} q^{- (m + n) j} B_{q} (m, k - j) B_{q} (n, j) .

Demostració

De la mateixa manera que en la (no-q) identitat de Chu-Vandermonde, hi ha vàries possibles demostracions de la q-identitat de Vandermonde. En la prova següent, s'utilisa el teorema q-binomial.

Una prova estàndar de l'identitat de Chu-Vandermonde és ampliar el producte $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n}$ de dos maneres diferents. Stanley,^[1] va demostrar que és possible modificar esta prova per a aplicar-la també a la q-identitat de Vandermonde. En primer lloc, s'observa que el producte

(1 + x) (1 + q x) \dots (1 + q^{m + n - 1} x)

pot ser ampliat pel q-teorema del binomi

(1 + x) (1 + q x) \dots (1 + q^{m + n - 1} x) = \sum_{k} q^{\frac{k (k - 1)}{2}} {(\binom{m + n}{k})}_{q} x^{k} .

Menys òbviament, es pot escriure

(1 + x) (1 + q x) \dots (1 + q^{m + n - 1} x) = ((1 + x) \dots (1 + q^{m - 1} x)) ((1 + (q^{m} x)) (1 + q (q^{m} x)) \dots (1 + q^{n - 1} (q^{m} x)))

i es poden ampliar els subproductes separadament utilisant el q-teorema binomial, de lo que resulta

(1 + x) (1 + q x) \dots (1 + q^{m + n - 1} x) = (\sum_{i} q^{\frac{i (i - 1)}{2}} {(\binom{m}{i})}_{q} x^{i}) \cdot (\sum_{i} q^{m i + \frac{i (i - 1)}{2}} {(\binom{n}{i})}_{q} x^{i}) .

Multiplicant este últim producte i combinant térmens semblants resulta

\sum_{k} \sum_{j} (q^{j (m - k + j) + \frac{k (k - 1)}{2}} {(\binom{m}{k - j})}_{q} {(\binom{n}{j})}_{q}) x^{k} .

Per últim, les potències iguals de $x$ de les dos expressions produïxen el resultat desijat.

Este argument pot també ser expressat en térmens de l'ampliació del producte $(A + B)^{m} (A + B)^{n}$ de dos maneres diferents, a on A i B són operadors (per eixemple, un parell de matrius) "q-conmutativos", és dir, que BA = qAB.

Bibliografia

Exton, H. (1983), Funcions i Aplicacions Hipergeométrica q-, Nova York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983 ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
(2011).«In Praise of an Elementary Identity of Euler».Electronic J. Combinatorics, P13, 44pp..18(2)
(2008).«Bijective Proofs of Gould's and Rothe's Identities».Discrete Mathematics.308(9)

1756.doi:10.1016/j.disc.2007.04.020.

arXiv:{{{arxiv}}}

Referències

↑ Stanley (2011), Solution to exercise 1.100, p. 188.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Q-identidad de Vandermonde» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Stanley (2011), Solution to exercise 1.100, p. 188.

[1]