Péndola de Wilberforce

Erro al crear miniatura:

Una péndola Wilberforce alterna entre dos modos d'oscilació.

Erro al crear miniatura:

Péndola Wilberforce, 1908

Erro al crear miniatura:

Una péndola Wilberforce de fusta en masses ajustables.

Péndola de Wilberforce, inventat pel físic britànic Lionel Robert Wilberforce al voltant de 1896, consistix en una massa suspesa per un llarc resort helicoidal i lliure per a girar sobre el seu eix vertical, endoblegant el resort. És un eixemple d'oscilador mecànic acoplat, a sovint utilisat com una demostració en l'educació en física. La massa pot moure's cap a dalt i cap a avall en el resort, i girar d'un costat a un atre sobre el seu eix vertical en vibracions torsionales. Quan s'ajusta correctament i es posa en moviment, exhibix un curiós moviment en el que els periodos d'oscilació purament rotacional alternen gradualment en periodos d'oscilació purament vertical. L'energia almagasenada en el dispositiu es desplaça llentament entre el modo d'oscilació traslacional 'dalt i avall' i el modo d'oscilació torsional 'en el sentit de les agulles del rellonge i en sentit contrari a les agulles del rellonge', fins que el moviment eventualment es desvanix.

A pesar del nom, en funcionament normal no es balanceja d'un costat a un atre com ho fan els péndoles ordinaris. La massa usualment té parells oposts de 'braços' radials que descollen horisontalment, enfilats en menuts pesos que es poden ajustar entornellant-los cap a dins o cap a fòra per a ajustar el moment d'inèrcia i 'afinar' el periodo de vibració periòdica.

Explicació

L'intrigant comportament del dispositiu és causat per un llauger acoplament entre els dos moviments o graus de llibertat, per la geometria del resort. Quan el pes es mou cap a dalt i cap a avall, cada descens del resort fa que es desenrosque llaugerament, donant al pes una llaugera torsió. Quan el pes es mou cap a dalt, fa que el resort es enrosque una miqueta més, donant al pes una llaugera torsió en l'atra direcció. Aixina, quan el pes es mou cap a dalt i cap a avall, cada oscilació li dona un parell de torsió altern al pes. En atres paraules, durant cada oscilació, part de l'energia en el modo traslacional es filtra cap al modo rotacional. Llentament, el moviment de pujada i baixada disminuïx, i el moviment rotacional aumenta, fins que el pes solament gira i no oscila verticalment.

De manera similar, quan el pes gira d'un costat a un atre, cada torsió del pes en la direcció que desenrosca el resort també reduïx llaugerament la tensió del resort, fent que el pes descendixca una miqueta. Pel contrari, cada torsió del pes en la direcció de enrollar el resort més apretat fa que la tensió aument, elevant el pes llaugerament. Aixina, cada oscilació del pes d'un costat a un atre fa que puge i baix més, fins que tota l'energia es transferix novament del modo rotacional al modo traslacional i el pes solament puja i baixa, sense girar.

Una péndola de Wilberforce pot dissenyar-se aproximadament igualant la freqüència de les oscilacions harmòniques de l'oscilador massa-resort f_T, que depén de la constant del resort k del resort i de la massa m del sistema, i la freqüència de l'oscilador rotatori f_R, que depén del moment d'inèrcia I i del coeficient torsional κ del sistema.

$f_T=\sqrt{\frac{k}{m}}\approx \sqrt{\frac{\kappa }{I}}=f_R$

La péndola generalment s'ajusta movent els pesos d'ajust del moment d'inèrcia cap a o alluntant-los del centre de la massa en cantitats iguals a cada costat per a modificar f_R, fins que la freqüència rotacional estiga prop de la freqüència traslacional, de modo que el periodo d'alternança siga lo suficientment llent per a permetre que el canvi entre els dos modos es veja clarament.

Freqüència d'alternança o de 'batut'

La freqüència a la que alternen els dos modos és igual a la diferència entre les freqüències d'oscilació dels modos. Quant més propenques estiguen en freqüència els dos moviments, més llenta serà l'alternança entre ells. Este comportament, comú a tots els osciladors acoplats, és anàlec al fenomen dels batuts en els instruments musicals, en els que dos tons es combinen per a produir un to de 'batut' a la diferència entre les seues freqüències. Per eixemple, si la péndola oscila cap a dalt i cap a avall a una taxa de f_T = 4 Hz, i gira d'un costat a un atre sobre el seu eix a una taxa de f_R = 4.1 Hz, la taxa d'alternança f_alt serà:

$f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}=f_R-f_T=0.1\mathrm{H}\mathrm{z}$

$T_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}=1/f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}=10\mathrm{s}$

Aixina, el moviment canviarà de rotacional a traslacional en 5 segons i després tornarà a ser rotacional en els següents 5 segons. Si les dos freqüències són exactament iguals, la freqüència de batut serà zero i ocorrerà la resonància.