Número narcissiste

En matemàtica recreativa un número narcissiste és aquell que és igual a la suma dels seus dígits elevats a la potència del seu número de sifres. El seu nom aludix a lo molt que semblen "voler-se a sí mateixos".

Quatre números narcissistes de 3 sifres.

Esta definició depén de la base b del sistema numèric empleat, per eixemple b = 10 per al sistema decimal o b = 2 per al sistema binari.

Definició

La definició de número narcissiste es basa en la representació decimal n = d_kd_k-1...d₁ d'un número natural n.

Per eixemple,

$n=d_k\cdot 10^{k-1}+d_{k-1}\cdot 10^{k-2}+\mathrm{...}+d_2\cdot 10+d_1$

En k dígits d_i sent 0 ≤ d_i ≤ 9. Aixina un número és narcissiste si es complix que:

$n=d_k^k+d_{k-1}^k+\mathrm{...}+d_2^k+d_1^k$

Un eixemple de número narcissiste és el 153. ya que $153=1^3+5^3+3^3=1+125+27$

Com un número narcissiste pot definir-se sobre la base numèrica en base b diferent de 10, en base b la representació de el número natural n es definix com :

n = d_kb^k-1 + d_k-1b^k-2 + ... + d₂b + d₁

a on els dígits de la base b els dígits d_i complixen la condició de que 0 ≤ d_i ≤ b-1.

Per eixemple, el número decimal 17 és narcissiste en la seua representació en base 3 (b = 3). Este en base-3 es representa com 122, perque 17 = 1·3² + 2·3 + 2  i a la seua volta complix l'equació 17 = 1³ + 2³ + 2³

Si s'elimina la restricció de que la potència deu tindre el mateix valor que la cantitat de dígits, és dir que m pot tindre un valor diferent de k llavors ocorre que :

n = d_k^m + d_k-1^m + ... + d₂^m + d₁^m

Llavors n és lo que es diu un invariante digital perfecte o PDI en les seues sigles en anglés (perfect digital invariant). Per eixemple, el número decimal 4150 té quatre dígits decimals i la suma de les seues sifres a la quinta potència és: 4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵, per lo tant és un invariante digital perfecte pero no és un número narcissiste.

Hi ha solament quatre números, despuix de l'unitat, que són suma de les gavetes dels seus dígits:

$153=1^3+5^3+3^3$

$370=3^3+7^3+0^3$

$371=3^3+7^3+1^3$

$407=4^3+0^3+7^3$.

Segons G.H. Hardy en A Mathematician's Apology: "Estos són senyes curioses, molt adequats per a les columnes del rompecabezas i per a divertir als aficionats, pero no hi ha res en ells que interesse al matemàtic".

Números narcissiste en vàries bases

Base	Seqüència de números
Base 2	0,1
Base 3	0, 1, 2, 12, 22, 122
Base 4	0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 ... [2] i [3]
Base 8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, ... ([4] i [5])
Base 10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, ... [6]
Base 12	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 25, ᘔ5, 577, 668, ᘔ83, ... [7]
Base 16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, I, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, ... [8]

La cantitat de números narcissistes és finit dins d'una base, mentres que el màxim possible de sumes de la k-esima potència d'un dígit k en base b és:

$k(b-1{)}^k$

i si k és lo suficientment gran, llavors

$k(b-1{)}^k<b^{k-1}$

en el cas del qual el número pot tindre k o més dígits. Per al cas de b igual a 10 llavors el major número narcissiste en base 10 deu tindre menys de 10⁶⁰.

Hi ha només 88 números narcissistes en base 10, i el més gran és

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

en 39 dígits.

Tots els números d'una sifra són narcissistes.