Llínea 1: |
Llínea 1: |
− | | + | En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts de l'[[espai euclídeu]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura nomenada [[geodèsica]]. |
− | | |
− | | |
− | En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts del [[espai @euclídeo]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura anomenada [[geodèsica]]. | |
| | | |
| En [[física]], la distància és una [[magnitut física|magnitut]] [[Escalar (física)|escalar]], que s'expressa en [[unitats de llongitut]]. | | En [[física]], la distància és una [[magnitut física|magnitut]] [[Escalar (física)|escalar]], que s'expressa en [[unitats de llongitut]]. |
| | | |
| == Definició formal == | | == Definició formal == |
− | Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X claves X</math> en <math>mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions: | + | Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions: |
− | | |
| | | |
| * No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math> | | * No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math> |
Llínea 16: |
Llínea 12: |
| * Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>. | | * Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>. |
| | | |
− | Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina '''[[pseudodistància]]''' o '''pseudomètrica'''. | + | Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina [[pseudodistància|'''pseudodistància''']] o '''pseudomètrica'''. |
| | | |
− | La distància és el concepte fonamental de la @Topología d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>. | + | La distància és el concepte fonamental de la Topologia d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>. |
| | | |
| En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]]. | | En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]]. |
| | | |
− | Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric i <math>I subset X</math>, podem restringir <math>d</math> a <math>I</math> de la següent forma: | + | Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric i <math>E \subset X</math>, podem restringir <math>d</math> a <math>I</math> de la següent forma: |
− | <math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de manera que si <math>x,i in I</math> llavors <math>d'(x,i)=d(x,i)</math> (és dir, <math>d'=d|_{I claves I}</math>). L'aplicació <math>d'</math> és també una distància sobre <math>d</math>, i com compartix sobre <math>I claves I</math> els mateixos valors que <math>d</math>, es denota també de la mateixa manera, és dir, direm que <math>(I,d)</math> és subespai mètric de <math>(X,d)</math>. | + | <math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de manera que si <math>x,y \in E</math> llavors <math>d'(x,i)=d(x,i)</math> (és dir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). L'aplicació <math>d'</math> és també una distància sobre <math>d</math>, i com compartix sobre <math>E \times E</math> els mateixos valors que <math>d</math>, es denota també de la mateixa manera, és dir, direm que <math>(I,d)</math> és subespai mètric de <math>(X,d)</math>. |
| + | |
| + | === Distància d'un punt a un conjunt === |
| + | |
| + | Si <math>(X,d)</math> és un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera: |
| + | |
| + | :<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>. |
| + | |
| + | És de destacar les següents tres propietats: |
| + | |
| + | * En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt. |
| + | |
| + | * Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>. |
| + | |
| + | * Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un [[punt d'adheriment]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>. |
| + | |
| + | Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana. |
| + | |
| + | === Distància entre dos conjunts === |
| + | |
| + | Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera: |
| + | |
| + | :<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>. |
| + | |
| + | Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, e inclús que tinguen clausura disjuntas. |
| | | |
| + | Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>. |
| | | |
| + | La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana. |
| | | |
| + | == Vore també == |
| | | |
| + | * [[Distància de Mahalanobis]] |
| + | * [[Método dels quadrants centrats en un punt]] |
| + | * [[Desplaçament (vector)]] |
| + | * [[Trayectòria]] |
| + | * [[Recta real estesa]] |
| + | * [[Mesura de Lebesgue]] |
| + | * [[Distància d'un punt a una recta]] |
| + | * [[Distància relativa entre dos camps escalares]] |
| | | |
| + | [[Categoria:Matemàtiques]] |
| + | [[Categoria:Matemàtica elemental]] |
| + | [[Categoria:Llongitut]] |
| | | |
| | | |