2744
edicions
Canvis
Anar a la navegació
Anar a la busca
Llínea 29:
Llínea 29: − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
sense resum d'edició
La moderna noció de llongitut es basa fonamentalment en la noció definida dins de la [[geometria diferencial de curves]]. Una atra forma més pròxima a la noció original de llongitut és l'aproximació d'una curva diferenciable per mig d'una poligonal, aixina en época d'Arquimedes ya havia segut possible determinar en molta exactitut el perímetro d'una circumferència per mig de successions de polígons inscrits i circumscrits a la circumferència. Ya que el perímetro d'un polígon pot ser determinat a partir de triànguls i, en particular, usant el [[teorema de Pitàgores]]. El desenroll del [[càlcul infinitesimal]] va permetre estendre la noció de llongitut a curves analítiques molt complicades per als quals no és senzill aplicar els métodos dels antics matemàtics grecs d'aproximació per mig de poligonals.
La moderna noció de llongitut es basa fonamentalment en la noció definida dins de la [[geometria diferencial de curves]]. Una atra forma més pròxima a la noció original de llongitut és l'aproximació d'una curva diferenciable per mig d'una poligonal, aixina en época d'Arquimedes ya havia segut possible determinar en molta exactitut el perímetro d'una circumferència per mig de successions de polígons inscrits i circumscrits a la circumferència. Ya que el perímetro d'un polígon pot ser determinat a partir de triànguls i, en particular, usant el [[teorema de Pitàgores]]. El desenroll del [[càlcul infinitesimal]] va permetre estendre la noció de llongitut a curves analítiques molt complicades per als quals no és senzill aplicar els métodos dels antics matemàtics grecs d'aproximació per mig de poligonals.
Fins al sigle XIX es va assumir que la llongitut d'una curva acotada, devia ser finita, no obstant, durant el sigle XIX matemàtics com [[Karl Weierstras]] varen trobar que existixen curves contínues que no són diferenciables en cap punt, i per tant, per als quals no està definida la noció de llongitut amprada en la geometria diferencial. Posteriorment es va demostrar que corbes contínues com la [[curva de *Koch]] són corbes tancades que tanca un àrea finita, pero no obstant són de llongitut infinita (de fet esta curva mostra que un àrea acotada pot estar delimitada per un perímetro de llongitut infinita).
Fins al sigle XIX es va assumir que la llongitut d'una curva acotada, devia ser finita, no obstant, durant el sigle XIX matemàtics com [[Karl Weierstras]] varen trobar que existixen curves contínues que no són diferenciables en cap punt, i per tant, per als quals no està definida la noció de llongitut amprada en la geometria diferencial. Posteriorment es va demostrar que curves contínues com la [[curva de Koch]] són curves tancades que tanca un àrea finita, pero no obstant són de llongitut infinita (de fet esta curva mostra que un àrea acotada pot estar delimitada per un perímetro de llongitut infinita).
=== Tridimensional ===
En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos ''x'', ''i'' i ''z''), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les [[sistema de coordenades|coordenades]] ''i'', mentres que el «ample» i el «alt» en les ''x'' i les ''z'', respectivament.<ref name=Prieto /> Dada una curva [[curva#curva suave|suave]] (diferenciable y de clase <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expresado mediante el parámetro ''t'';
:<math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math>
se define el llamado [[longitud de arco|parámetro de arco]] ''s'' como:<br />
<br />
:<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math>
La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar
:<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} {\left \Vert \mathbf{r}'(\tau) \right \|}d\tau </math>
Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:
<br />
:<math> \mathbf{\tilde{r}}(s)=\left (\tilde{x}(s), \tilde{y}(s), \tilde{z}(s) \right)</math>
<br />
donde
<br />
:<math> \tilde{x}(\phi(t))=x(t), \qquad \tilde{y}(\phi(t))=y(t), \qquad \tilde{z}(\phi(t))=z(t)</math>
<br />
== Vore també ==
{{Columnes}}
* [[Dimensió]]
* [[Distància]]
* [[Espai mètric]]
* [[Mesura de Lebesgue]]
{{Nova columna}}
* [[Medició]]
* [[Metrologia]]
* [[Perspectiva]]
{{Nova columna}}
* [[Tridimensional]]
* [[Altura (geometria)]]
* [[Ample]]
{{Final columnes}}
[[Categoria:Llongitut| ]]
{{Traduït de|es|Longitud}}
{{Traduït de|es|Longitud}}