Dinàmica de cossos rígits

Vore també: Mecànica del sòlit rígit

Vore també: Categoria:Mecànica del sòlit rígit

En la ciència física de la dinàmica, la dinàmica de cossos rígits estudia el moviment de sistemes de cossos interconectados baix l'acció de força externa. La suposició de que els cossos són rígits (és dir, que no es deformen baix l'acció de les forces aplicades) simplifica l'anàlisis, en reduir els paràmetros que descriuen la configuració del sistema a la translació i rotació de marc de referències units a cada cos.^[1]^[2] Açò exclou els cossos que mostren un comportament decorregut, altament elàstic, i plàstic

La dinàmica d'un sistema de cossos rígits es descriu per mig de les lleis de la cinemàtica i l'aplicació de la segona llei de Newton (cinètica) o la seua forma derivada, la mecànica lagrangiana. La solució d'estes equacions de moviment proporciona una descripció de la posició, el moviment i l'acceleració dels components individuals del sistema, i en general del propi sistema, com una funció del temps. La formulació i solució de la dinàmica de cossos rígits és una ferramenta important en la simulació per ordenador de sistemes mecànics.

Dinàmica de cossos rígits plans

Si un sistema de partícules es mou paralelament a un pla fix, es diu que el sistema està restringit al moviment pla. En este cas, les lleis de Newton (cinètica) per a un sistema rígit de N partícules, P_i, i=1,...,N, se simplifiquen perque no hi ha moviment en la direcció k. Determine la força i el parell resultants en un punt de referència R , per a obtindre

𝐅 = \sum_{i = 1}^{N} m_{i} 𝐀_{i}, 𝐓 = \sum_{i = 1}^{N} (𝐫_{i} - 𝐑) \times m_{i} 𝐀_{i},

a on r_i denota la trayectòria plana de cada partícula.

La cinemàtica d'un cos rígit tira la fòrmula de l'acceleració de la partícula P_i en térmens de la posició R i de l'acceleració A de la partícula de referència, aixina com del vector velocitat angular ω i del vector acceleració angular α del sistema rígit de partícules com,

𝐀_{i} = α \times (𝐫_{i} - 𝐑) + ω \times (ω \times (𝐫_{i} - 𝐑)) + 𝐀 .

Per als sistemes que estan restringits al moviment pla, els vectores de velocitat angular i d'acceleració angular es dirigixen a lo llarc de k perpendicular al pla de moviment, lo que simplifica esta equació d'acceleració. En este cas, els vectores d'acceleració poden simplificar-se introduint els vectores unitaris i {sub|i}} des del punt de referència R fins a un punt r {sub|i}} i els vectores unitaris $𝐭_{i} = k \times 𝐞_{i}$ , aixina

𝐀_{i} = α (Δ r_{i} 𝐭_{i}) - ω^{2} (Δ r_{i} 𝐞_{i}) + 𝐀 .

Açò produïx la força resultant en el sistema com

𝐅 = α \sum_{i = 1}^{N} m_{i} (Δ r_{i} 𝐭_{i}) - ω^{2} \sum_{i = 1}^{N} m_{i} (Δ r_{i} 𝐞_{i}) + (\sum_{i = 1}^{N} m_{i}) 𝐀,

i el parell de torsió com

\begin{matrix} 𝐓 = & \sum_{i = 1}^{N} (m_{i} Δ r_{i} 𝐞_{i}) \times (α (Δ r_{i} 𝐭_{i}) - ω^{2} (Δ r_{i} 𝐞_{i}) + 𝐀) \\ = & (\sum_{i = 1}^{N} m_{i} Δ r_{i}^{2}) α \vec{k} + (\sum_{i = 1}^{N} m_{i} Δ r_{i} 𝐞_{i}) \times 𝐀, \end{matrix}

a on $𝐞_{i} \times 𝐞_{i} = 0$ i $𝐞_{i} \times 𝐭_{i} = k$ és el vector unitari perpendicular al pla per a totes les partícules P_i.

Utilisa el centre de massa C com a punt de referència, per lo que estes equacions per a les lleis de Newton se simplifiquen per a convertir-se en

𝐅 = M 𝐀, 𝐓 = I_{𝐂} α \vec{k},

a on M és la massa total i I_C és el moment d'inèrcia al voltant d'un eix perpendicular al moviment del sistema rígit i que passa pel centre de massa.

Cos rígit en tres dimensions

Descripcions d'orientació o actitut

Artícul principal → Formalisació de la rotació en tres dimensions.

S'han desenrollat varis métodos per a descriure les orientacions d'un cos rígit en tres dimensions. Es resumixen en les següents seccions.

Ànguls de Euler

Artícul principal → Ànguls de Euler.

El primer intent de representar una orientació s'atribuïx a Leonhard Euler. Va imaginar tres marcs de referència que podien rotar un al voltant de l'atre i es va donar conte de que començant en un marc de referència fix i realisant tres rotacions, podia obtindre qualsevol atre marc de referència en l'espai (usant dos rotacions per a fixar l'eix vertical i una atra per a fixar els atres dos eixos). Els valors d'estes tres rotacions es denominen ànguls de Euler. Comunament,

ψ

s'usa per a denotar precesión,

θ

per a estil de visualisació i

ϕ

rotació intrínseca.

Diagrama dels ànguls de Euler
Rotació intrínseca d'una pilota al voltant d'un eix fix.
Moviment d'una trompa en els ànguls de Euler.

Ànguls de Tait-Bryan

Artícul principal → Ànguls de EulerÀnguls de Tait–Bryan .

Tait–Bryan angles, another way to descriu orientation.

Es tracta de tres ànguls, també coneguts com de guiñada, cabotege i balancege, ànguls de navegació i ànguls de Cardan. Matemàticament constituïxen un conjunt de sis possibilitats dins dels dotze conjunts possibles d'ànguls de Euler, sent l'ordenació la més utilisada per a descriure l'orientació d'un vehícul com un avió. En ingenieria aeroespacial se solen denominar ànguls de Euler.

Vector d'orientació

Artícul principal → Notació axial-angular.

Euler també es va donar conte de que la composició de dos rotacions equival a una sola rotació al voltant d'un eix fix diferent (teorema de la rotació de Euler). Per tant, la composició dels tres ànguls anteriors té que ser igual a una sola rotació, l'eix de la qual era complicat de calcular fins que es varen desenrollar les matrius. | SO Basant-se en este fet, va introduir una forma vectorial de descriure qualsevol rotació, en un vector en l'eix de rotació i mòdul igual al valor de l'àngul. Per lo tant, qualsevol orientació pot representar-se per mig d'un vector de rotació (també cridat vector de Euler) que conduïx a ella des del marc de referència. Quan s'utilisa per a representar una orientació, el vector de rotació es diu comunament vector d'orientació, o vector d'actitut.

Un método similar, cridat representació eix-àngul, descriu una rotació o orientació utilisant un vector unitari alineat en l'eix de rotació, i un valor separat per a indicar l'àngul (vore figura).

Matriu d'orientació

Artícul principal → Matriu de rotació.

En l'introducció de les matrius es varen reescriure les teoremes de Euler. Les rotacions es varen descriure per mig de matrius ortogonals denominades matrius de rotació o matrius de coseno de direcció. Quan s'utilisa per a representar una orientació, una matriu de rotació es diu comunament matriu d'orientació, o matriu d'actitut.

El mencionat vector de Euler és el vector propi d'una matriu de rotació (una matriu de rotació té un únic valor propi real). El producte de dos matrius de rotació és la composició de rotacions. Per lo tant, com abans, l'orientació es pot donar com la rotació des del marc inicial per a conseguir el marc que volem descriure.

l'espai de configuració d'un objecte no simètric en un espai n-dimensional és SO (x) Rⁿ L'orientació pot visualisar-se adjuntant una base de vectores tangentes a un objecte. La direcció en la que apunta cada vector determina la seua orientació.

Cuaternión d'orientació

Artícul principal → Cuaterniones i rotació en l'espai.

Una atra forma de descriure les rotacions és usant cuaterniones de rotació, també cridats versores. Són equivalents a matrius de rotació i vectores de rotació. Sobre els vectores de rotació, es poden convertir més fàcilment ai des de matrius. Quan s'utilisen per a representar orientacions, els cuaterniones de rotació solen denominar-se cuaterniones d'orientació o cuaterniones d'actitut.

La segona llei de Newton en tres dimensions

Per a considerar la dinàmica d'un cos rígit en l'espai tridimensional, la segona llei de Newton deu estendre's per a definir la relació entre el moviment d'un cos rígit i el sistema de forces i parells que actuen sobre ell.

Newton va formular la seua segona llei per a una partícula com:

El canvi de moviment d'un objecte és proporcional a la força aplicada i es realisa en la direcció de la llínea recta en la que s'aplica la força.^[3]

Degut a que Newton generalment es va referir a la massa per la velocitat com el "moviment" d'una partícula, la frase "canvi de moviment" es referix a la massa per l'acceleració de la partícula, per lo que esta llei generalment s'escriu com

𝐅 = m 𝐚,

a on F s'entén com l'única força externa que actua sobre la partícula, m és la massa de la partícula i a és el seu vector d'acceleració. L'extensió de la segona llei de Newton als cossos rígits es conseguix considerant un sistema rígit de partícules.

Sistema rígit de partícules

Si un sistema de N partícules, P_i, i=1,...,N, es ensamblan en un cos rígit, llavors es pot aplicar la segona llei de Newton a cada una de les partícules del cos. Si F_i és la força externa aplicada a la partícula P_i en una massa m_i, llavors

𝐅_{i} + \sum_{j = 1}^{N} 𝐅_{i j} = m_{i} 𝐚_{i}, i = 1, \dots, N,

a on F ij és la força interna de la partícula P j que actua sobre la partícula P i que manté la distància constant entre estes partícules.

S'obté una simplificació important d'estes equacions de força introduint la força i el parell resultants que actuen sobre el sistema rígit. Esta força i parell resultants s'obtenen elegint una de les partícules en el sistema com a punt de referència, R, a on cada una de les forces externes s'aplica en l'adició d'un torque associat. La força resultant F i el parell T estan donats per les fòrmules,

𝐅 = \sum_{i = 1}^{N} 𝐅_{i}, 𝐓 = \sum_{i = 1}^{N} (𝐑_{i} - 𝐑) \times 𝐅_{i},

a on R_i és el vector que definix la posició de la partícula P_i.

La segona llei de Newton per a una partícula es combina en estes fòrmules per a obtindre la força resultant i el parell motor,

𝐅 = \sum_{i = 1}^{N} m_{i} 𝐚_{i}, 𝐓 = \sum_{i = 1}^{N} (𝐑_{i} - 𝐑) \times (m_{i} 𝐚_{i}),

a on lasfuerzas internes F_ij s'anulen per parelles. La cinemàtica d'un cos rígit tira la fòrmula de l'acceleració de la partícula P_i en térmens de la posició R i de l'acceleració a de la partícula de referència, aixina com del vector velocitat angular ω i del vector acceleració angular α del sistema rígit de partícules com,

𝐚_{i} = α \times (𝐑_{i} - 𝐑) + ω \times (ω \times (𝐑_{i} - 𝐑)) + 𝐚 .

Propietats de la massa

Les propietats de massa del cos rígit estan representades pel seu centre de masses i moment d'inèrcia. Elegixca el punt de referència R per a que satisfaça la condició

\sum_{i = 1}^{N} m_{i} (𝐑_{i} - 𝐑) = 0,

llavors es coneix com el centre de massa del sistema. La matriu d'inèrcia [I_R] del sistema respecte al punt de referència R es definix per

[I_{R}] = \sum_{i = 1}^{N} m_{i} (𝐈 (𝐒_{i}^{𝖳} 𝐒_{i}) - 𝐒_{i} 𝐒_{i}^{𝖳}),

a on $𝐒_{i}$ és el vector columna R_i − R; $𝐒_{i}^{𝖳}$ és el seu transpuesta, i{ $𝐈$ és la matriu identitat de 3 per 3.

$𝐒_{i}^{𝖳} 𝐒_{i}$ és elproducto escalar de $𝐒_{i}$ per sí mateixa, mentres que $𝐒_{i} 𝐒_{i}^{𝖳}$ és el producte vectorial de $𝐒_{i}$ per sí mateixa

Equacions de força-parell

Utilisant el centre de massa i la matriu d'inèrcia, les equacions de força i parell per a un sol cos rígit prenen la forma

𝐅 = m 𝐚, 𝐓 = [I_{R}] α + ω \times [I_{R}] ω,

i es coneixen com la segona llei del moviment de Newton per a un cos rígit.

La dinàmica d'un sistema interconectado de cossos rígits, B_i, j = 1, ..., M,, es formula aïllant cada cos rígit i introduint les forces d'interacció. La resultant de les forces externes i d'interacció en cada cos dona les equacions força-parell

𝐅_{j} = m_{j} 𝐚_{j}, 𝐓_{j} = [I_{R}]_{j} α_{j} + ω_{j} \times [I_{R}]_{j} ω_{j}, j = 1, \dots, M .

La formulació de Newton dona lloc a 6 M equacions que definixen la dinàmica d'un sistema de M cossos rígits.^[4]

Rotació en tres dimensions

Un objecte giratori, ya siga baix l'influència de parells o no, pot exhibir els comportaments de precesión i nutación. L'equació fonamental que descriu el comportament d'un cos sòlit en rotació és l'equació de moviment de Euler:

𝝉 = \frac{D 𝐋}{D t} = \frac{d 𝐋}{d t} + 𝝎 \times 𝐋 = \frac{d (I 𝝎)}{d t} + 𝝎 \times I 𝝎 = I 𝜶 + 𝝎 \times I 𝝎

a on els pseudovectores τ i L són, respectivament, els moments de força sobre el cos i el seu moment angular, l'escalar I és la seua moment d'inèrcia, el vector ω és el seu velocitat angular, el vector α és el seu acceleració angular, D és el diferencial en un marc de referència inercial i d és el diferencial en un marc de referència relatiu fix en el cos.

La solució a esta equació quan no s'aplica un parell s'analisa en els artículs Equació de moviment de Euler i Elipsoide de Poinsot.

De l'equació de Euler es deduïx que un parell τ aplicat perpendicularment a l'eix de rotació i, per lo tant, perpendicular a L , dona com resultat una rotació al voltant d'un eix perpendicular tant a τ com a L. Este moviment es diu precesión. La velocitat angular de precesión Ω_P ve donada pel producte vectorial.^{cita requerida}

𝝉 = 𝜴_{P} \times 𝐋 .

La precesión pot demostrar-se colocant una peonza en el seu eix horisontal i recolzada sense apretar (sense fricció cap a la precesión) en un extrem. En lloc de caure, com caldria esperar, la peonza sembla desafiar a la gravetat permaneixent en el seu eix horisontal, quan l'atre extrem de l'eix es deixa sense respal i l'extrem lliure de l'eix descriu llentament un círcul en un pla horisontal, girant la precesión resultant. Este efecte s'explica per mig de les equacions anteriors. El parell de torsió en la part superior és suministrat per un parell de forces: la gravetat que actua cap a avall en el centre de massa del dispositiu, i una força igual que actua cap a dalt per a recolzar un extrem del dispositiu. La rotació resultant d'este parell no és cap a avall, com podria esperar-se intuitivament, provocant la caiguda del dispositiu, sino perpendicular tant al parell gravitatorio (horisontal i perpendicular a l'eix de rotació) com a l'eix de rotació (horisontal i cap a fòra del punt de respal), és dir, al voltant d'un eix vertical, provocant que el dispositiu gire llentament al voltant del punt de respal.

Baixe un parell constant de magnitut τ, la velocitat de precesión Ω P és inversamente proporcional a L , la magnitut del seu moment angular:

a on θ és l'àngul entre els vectores Ω P i L. Per lo tant, si el gir de la peonza disminuïx (per eixemple, per la fricció), el seu moment angular disminuïx i, per lo tant, aumenta la velocitat de precesión. Açò continua fins que el dispositiu no pot girar lo suficientment ràpit per a soportar el seu propi pes, quan deixa de precedir i cau del seu soport, és principalment perque la fricció contra la precesión provoca una atra precesión que, a la seua volta, provoca la caiguda.

Per convenció, estos tres vectores (parell, espin i precesión) estan orientats entre sí d'acort en la regla de la mà dreta.

Referències

↑ B. Paul, Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice-Hall, NJ, 1979
↑ L. W. Tsai, Robot Analysis: The mechanics of serial and parallel manipulators, John-Wiley, NY, 1999.
↑ Encyclopædia Britannica, Newtons laws of motion.
↑ K. J. Waldron and G. L. Kinzel, Kinematics and Dynamics, and Design of Machinery, 2nd Ed., John Wiley and Sons, 2004.

Este artícul conté una traducció derivada de «Dinámica de cuerpos rígidos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] B. Paul, Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice-Hall, NJ, 1979

[2] L. W. Tsai, Robot Analysis: The mechanics of serial and parallel manipulators, John-Wiley, NY, 1999.

[3] Encyclopædia Britannica, Newtons laws of motion.

[4] K. J. Waldron and G. L. Kinzel, Kinematics and Dynamics, and Design of Machinery, 2nd Ed., John Wiley and Sons, 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]