Llínea 28: |
Llínea 28: |
| | páginas= 288 | | | páginas= 288 |
| }}</ref> | | }}</ref> |
− |
| |
| | | |
| La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta. | | La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta. |
| | | |
| == Regla de tres simple == | | == Regla de tres simple == |
− | En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. | + | En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. <ref>{{cita libro |
| + | | autor= Placencia Valero, Job |
| + | | título= Compendio de matemática básica elemental |
| + | | editor= |
| + | | editorial= Editorial Tébar, S.L. |
| + | | año= 2008 |
| + | | idioma= español |
| + | | isbn= 978-84-7360-294-5 |
| + | | páginas= 49 |
| + | }}</ref> |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \begin{array}{ccc} |
| + | A & \longrightarrow & B \\ |
| + | X & \longrightarrow & Y |
| + | \end{array} |
| + | </math> |
| + | |
| + | La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de '''A''' hi haurà un major valor de '''B''', i serà inversa, quan es de que, a un major valor de '''A''' corresponga un menor valor de '''B''', vejam cada u d'eixos casos. |
| + | |
| + | |
| + | === Regla de tres simple directa === |
| + | [[Archiu:Relación directa.svg|260px|right]] |
| + | |
| + | La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de [[proporcionalitat]], per #lo que ràpidament s'observa que: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \frac{B}{A} = |
| + | \frac{Y}{X} = |
| + | k |
| + | </math> |
| + | |
| + | A on '''k''' és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de '''A''' li correspon un aument de '''B''' en la mateixa proporció. Que podem representar: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{array}{ccc} |
| + | A & \longrightarrow & B \\ |
| + | X & \longrightarrow & Y |
| + | \end{array} |
| + | \right \} |
| + | \rightarrow \quad |
| + | Y = \cfrac{B \cdot X}{A} |
| + | </math> |
| + | |
| + | |
| + | i direm que: '''A''' és a '''B''' directament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''B''' per '''X''' dividit entre '''A'''. |
| + | |
| + | Imaginem que se nos planteja lo següent: |
| + | {{definició| |
| + | Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions? |
| + | }} |
| + | |
| + | Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{array}{ccc} |
| + | 2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\ |
| + | 5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros} |
| + | \end{array} |
| + | \right \} |
| + | \rightarrow \quad |
| + | |
| + | Y = |
| + | \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitacions} }{2 \; \text{habitacions} } = |
| + | 20 \; litros |
| + | </math> |
| + | |
| + | === Regla de tres simple inversa === |
| + | [[Archiu:Relación inversa.svg|260px|right]] |
| + | |
| + | En la regla de tres simple inversa,<ref>{{cita libro |
| + | | apellido= Álvarez Pérez |
| + | | nombre= Antonio |
| + | | título= Enciclopedia Álvarez, 3er grado |
| + | | editor= |
| + | | editorial= Editorial Edaf, S.A. |
| + | | año= 1997 |
| + | | idioma=inglés |
| + | | isbn= 978-84-414-0244-7 |
| + | | página= 245 |
| + | |
| + | }}</ref> en la relació entre els valors se cumplix que: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | A \cdot B = |
| + | X \cdot Y = |
| + | e |
| + | </math> |
| + | |
| + | a on '''e''' és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de '''A''', necessitara una disminució de '''B''', per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{array}{ccc} |
| + | A & \longrightarrow & B \\ |
| + | X & \longrightarrow & Y |
| + | \end{array} |
| + | \right \} |
| + | \rightarrow \quad |
| + | Y = \cfrac{A \cdot B}{X} |
| + | </math> |
| + | |
| + | i direm que: '''A''' és a '''B''' inversament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''A''' per '''B''' dividit per '''X'''. |
| + | |
| + | Si per eixemple tenim el problema: |
| + | {{definició| |
| + | Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur? |
| + | }} |
| + | |
| + | Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme). |
| + | |
| + | : <math> |
| + | 8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} = |
| + | 5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} = |
| + | 120 \; \text{hores de treball} |
| + | </math> |
| + | |
| + | El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant. |
| + | |
| + | Tenim per tant una relació de ''proporcionalitat inversa'', i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{array}{ccc} |
| + | 8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\ |
| + | 5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores} |
| + | \end{array} |
| + | \right \} |
| + | \rightarrow \quad |
| + | Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } = |
| + | 24 \; \text{hores} |
| + | </math> |
| + | |
| + | == Regla de tres composta == |
| + | En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.<ref>{{cita libro |
| + | | autor= Placencia Valero, Job |
| + | | título= Compendio de matemática básica elemental |
| + | | editor= |
| + | | editorial= Editorial Tébar, S.L. |
| + | | año= 2008 |
| + | | idioma= español |
| + | | isbn= 978-84-7360-294-5 |
| + | | páginas= 50 |
| + | }}</ref> Observem el següent eixemple: |
| + | |
| + | {{definició| |
| + | Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores? |
| + | }} |
| + | |
| + | En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat directa''. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat inversa''. |
| + | |
| + | El problema s'enunciaria aixina: |
| + | {{definició| |
| + | 100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i '''I''' treballadors. |
| + | }} |
| + | |
| + | La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per [[grosseig]] resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients). |
| + | |
| + | Formalment el problema es planteja aixina: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \begin{matrix} |
| + | A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\ |
| + | X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y |
| + | \end{matrix} |
| + | </math> |
| + | |
| + | * La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{matrix} |
| + | A & \longrightarrow & C \\ |
| + | X & \longrightarrow & Y |
| + | \end{matrix} |
| + | \right \} |
| + | \quad \longrightarrow \quad |
| + | Y = \frac{X \cdot C}{A} |
| + | </math> |
| + | |
| + | * A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina: |
| + | : <math> |
| + | \left . |
| + | \begin{matrix} |
| + | B & \longrightarrow & C \\ |
| + | |
| + | Z & \longrightarrow & Y |
| + | \end{matrix} |
| + | \right \} |
| + | \quad \longrightarrow \quad |
| + | Y = \frac{B \cdot C}{Z} |
| + | </math> |
| + | |
| + | * A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme '''C''' una sola volta): |
| + | |
| + | : <math> |
| + | Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z} |
| + | </math> |
| + | |
| + | lo que nos dona la solució buscada. |
| | | |
| + | El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cada una de les relacions simples. |
| | | |
| + | == Eixemples == |
| + | * Per a passar 60 [[Grau Celsius|graus]] a [[radian|radians]] podríem establir la següent regla de tres: |
| | | |
| + | Ubiquem l'incògnita en la primera posició: |
| | | |
| + | <math> |
| + | \begin{matrix} |
| + | 180^\circ & \longrightarrow & \pi \; \text{radianes} \\ |
| + | 60^\circ & \longrightarrow & X \; \text{radianes} |
| + | \end{matrix} |
| + | </math> |
| + | ||left}} |
| | | |
| + | Açò formalisa la pregunta "¿Quants radians hi ha en 60 graus, ya que π radians són 180 graus?". Aixina tenim que: |
| + | |
| + | {{equació| |
| + | <math> X = \frac{\pi \; \text{radianes} \cdot 60^\circ}{180^\circ}= \frac{\pi}{3} \; \text{radianes} </math> |
| + | ||left}} |
| + | A on π és el [[Número π]]. |
| + | |
| + | Una tècnica útil per a recordar cóm trobar la solució d'una regla de tres és la següent: X és igual al producte dels térmens creuats (π i 60, en este cas) dividit pel terme que està creuat en X. |
| + | |
| + | * Calcular quànts minuts hi ha en 7 hores. Sabem que hi ha 60 minuts en 1 hora, per lo que escrivim: |
| + | |
| + | : <math> |
| + | \begin{matrix} |
| + | 1 \; \text{hora} & \longrightarrow & 60 \; \text{minuts} \\ |
| + | 7 \; \text{hores} & \longrightarrow & X \; \text{minuts} |
| + | \end{matrix} |
| + | </math> |
| + | |
| + | El resultat és: |
| + | : <math> |
| + | X = |
| + | \frac |
| + | {60 \; \text{minuts} \cdot 7 \; \text{hores}} |
| + | {1 \; \text{hora}} |
| + | = 420 \; \text{minuts} |
| + | </math> |
| + | |
| + | == Referències == |
| + | <references/> |
| + | |
| + | == Bibliografia == |
| + | # {{cita llibre |
| + | |apellidos= Varas |
| + | |nombre= Antonio |
| + | |coautores= |
| + | |editor= en la imprenta de la viuda de Ibarra |
| + | |otros= |
| + | |título= Aritmética y geometría práctica de la Real Academia de San Fernando |
| + | |edición= |
| + | |año= 1801 |
| + | |editorial= |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= |
| + | |páginas= 106-120 |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Bils |
| + | |nombre= Benito |
| + | |coautores= |
| + | |editor= Viuda de Joaquín Ibarra. |
| + | |otros= |
| + | |título= Principios de aritmética de la Real Academia de San Fernando |
| + | |edición= |
| + | |año= 1839 |
| + | |editorial= |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= |
| + | |páginas= 149-154 |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Contreras |
| + | |nombre= Manuel María |
| + | |coautores= |
| + | |editor= Imp. J.F. Jens |
| + | |otros= |
| + | |título= Elementos de aritmética razonada: escritos para use de los alumnos de la Escuela nacional preparatoria |
| + | |edición= 6 |
| + | |año= 1884 |
| + | |editorial= |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= |
| + | |nombre= |
| + | |coautores= |
| + | |editor= Equipo Rosalía de Castro |
| + | |otros= |
| + | |título= Proporcionalidad y regla de tres, iniciación, Educación Primaria |
| + | |edición= 1 |
| + | |año= 1997 |
| + | |editorial= Editorial Escudo, S.L. |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= 978-84-89833-33-3 |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Nogueira |
| + | |nombre= Gerardo |
| + | |coautores= |
| + | |editor= |
| + | |otros= |
| + | |título= Problemas de Regla de Tres |
| + | |edición= |
| + | |año= 2003 |
| + | |editorial= Imaginador |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= 978-98-75202-08-5 |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Teresa |
| + | |nombre= M. Dal |
| + | |coautores= |
| + | |editor= |
| + | |otros= |
| + | |título= 200 Ejercicios de Regla de Tres |
| + | |edición= |
| + | |año= 2004 |
| + | |editorial= Imaginador |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= 9789875202566 |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Ballester Sampedro |
| + | |nombre= José Ignacio |
| + | |coautores= Ballester Sampedro, Francisco Javier. Ballester Sampedro, Sergio |
| + | |editor= |
| + | |otros= |
| + | |título= Ejercicios de proporcionalidad en secundaria |
| + | |edición= 1 |
| + | |año= 2008 |
| + | |editorial= Liber Factory |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= 978-84-9869-658-5 |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | # {{cita libro |
| + | |apellidos= Margallo Toral |
| + | |nombre= José |
| + | |coautores= |
| + | |editor= |
| + | |otros= |
| + | |título= Matemáticas, 3 ESO |
| + | |edición= 1 |
| + | |año= 2010 |
| + | |editorial= Editorial Editex, S.A. |
| + | |idioma= español |
| + | |id= |
| + | |isbn= 978-84-9771-427-3 |
| + | |páginas= |
| + | |cita= |
| + | }} |
| + | |
| + | == Enllaços externs == |
| + | * [http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00250.html Regla de Tres] |
| + | * [http://www.thatquiz.com/es/mc?GBOM1530 Regla de tres directa] |
| + | |
| + | [[Categoria:Matemàtiques]] |
| [[Categoria:Aritmètica]] | | [[Categoria:Aritmètica]] |
| + | |
| + | {{Traduït de|es|Regla de tres}} |