Distància

En matemàtiques, la distància entre dos punts del espai @euclídeo equival a la llongitut del segment de la recta que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la geometria no *euclidiana, el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura anomenada geodèsica.

En física, la distància és una magnitut escalar, que s'expressa en unitats de llongitut.

Definició formal

Des d'un punt de vista formal, per a un conjunt d'elements <math>X</math> es definix distància o mètrica com qualsevol funció matemàtica o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions:

No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>
Simetria: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math>
Desigualtat triangular: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math>
<math>\forall x \in X : d(x,x)=0</math>.
Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>.

Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina pseudodistància o pseudomètrica.

La distància és el concepte fonamental de la @Topología d'Espais Mètrics. Un espai mètric no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.

En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un espai pseudomètric.

Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric i <math>E \subset X</math>, podem restringir <math>d</math> a <math>I</math> de la següent forma: <math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de manera que si <math>x,y \in E</math> llavors <math>d'(x,i)=d(x,i)</math> (és dir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). L'aplicació <math>d'</math> és també una distància sobre <math>d</math>, i com compartix sobre <math>E \times E</math> els mateixos valors que <math>d</math>, es denota també de la mateixa manera, és dir, direm que <math>(I,d)</math> és subespai mètric de <math>(X,d)</math>.

Distància d'un punt a un conjunt

Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:

<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.

És de destacar les següents tres propietats:

En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.

Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.

Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un punt de adheriment de <math>E</math>. De fet, la clausura de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.

Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància *euclidiana. (la fòrmula de distància d'un punt a una recta està incorrecta, tracten de solucionar, per favor)

Distància entre dos conjunts

Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera:

<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.

Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, i fins i tot que tinguen clausura disjuntas.

Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>.

La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància *euclidiana.

Vejau també

Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Distancia de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.