78 832
edicions
Canvis
Anar a la navegació
Anar a la busca
Llínea 19:
Llínea 19: − + − + Llínea 35:
Llínea 35: − + Llínea 61:
Llínea 61: − + − − Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre. + Llínea 158:
Llínea 157: − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − +
Text reemplaça - 'cridat' a 'nomenat'
||left}}
||left}}
La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existix per a tots els @número real ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depén del comportament de creiximent de ''f''(''t'').<br /><math>mathcal{L}</math> és cridat el ''[[operador]] de la transformada de Laplace''.
La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existix per a tots els @número real ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depén del comportament de creiximent de ''f''(''t'').<br /><math>mathcal{L}</math> és nomenat el ''[[operador]] de la transformada de Laplace''.
== Perspectiva històrica ==
== Perspectiva històrica ==
La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del [[matemàtic]] [[França|francés]] [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins del seu [[teoria de la provabilitat]]. En 1744, [[Leonhard Euler]] havia investigat un conjunt d'integrals de la forma:
La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del [[matemàtic]] [[França|francés]] [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins de la seua [[teoria de la provabilitat]]. En l'any [[1744]], [[Leonhard Euler]] havia investigat un conjunt d'integrals de la forma:
{{equació|
{{equació|
||left}}
||left}}
— que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace. Este tipo d'integrals varen atraure l'atenció de Laplace quan, en 1782, i seguint l'idea de *Euler, va tractar d'amprar estes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla ser que en 1785 va donar un pas més allà, i *reenfocó el problema para en lloc d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal i com hui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma:
— que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace. Este tipo d'integrals varen atraure l'atenció de Laplace quan, en [[1782]], i seguint l'idea de *Euler, va tractar d'amprar estes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla ser que en [[1785]] va donar un pas més allà, i reenfocà el problema para en lloc d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal i com hui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma:
{{equació|<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>||left}}
{{equació|<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>||left}}
||left}}
||left}}
Heaviside va publicar els seus resultats, l'utilitat dels quals a l'hora de resoldre equacions de la física i l'ingenieria va fer que pronte s'estengueren. No obstant, el treball de *Heaviside, formal i poc rigorós, va atraure les crítiques d'alguns matemàtics puristes que els varen rebujar argumentant que els resultats de *Heaviside no podien sorgir de tal forma. No obstant, l'èxit del método va fer que pronte fora adoptat per ingeniers i físics de tot lo món, de manera que al final va atraure l'atenció de cert número de matemàtics tractant de justificar el método de manera rigorosa. Despuix de vàries décades d'intents, es va descobrir que la Transformada descoberta per Laplace feya un sigle no solament oferia un fonament teòric al método de càlcul operacional de *Heaviside, sino que ademés oferia una alternativa molt més sistemàtica a tals métodos.
Heaviside va publicar els seus resultats, l'utilitat dels quals a l'hora de resoldre equacions de la física i l'ingenieria va fer que pronte s'estengueren. No obstant, el treball de Heaviside, formal i poc rigorós, va atraure les crítiques d'alguns matemàtics puristes que els varen rebujar argumentant que els resultats de *Heaviside no podien sorgir de tal forma. No obstant, l'èxit del método va fer que pronte fora adoptat per ingeniers i físics de tot lo món, de manera que al final va atraure l'atenció de cert número de matemàtics tractant de justificar el método de manera rigorosa. Despuix de vàries décades d'intents, es va descobrir que la Transformada descoberta per Laplace feya un sigle no solament oferia un fonament teòric al método de càlcul operacional de *Heaviside, sino que ademés oferia una alternativa molt més sistemàtica a tals métodos.
Cap a principis del [[sigle XX]], la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps a on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.
== Propietats ==
== Propietats ==
| 2c || Rampa || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> s > 0 \, </math>
| 2c || Rampa || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 2d || potencia n-ésima con cambio de frecuencia || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math> || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math> s > - \alpha \, </math>
| 2d || potència n-ésima en cambi de freqüència || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math> || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math> s > - \alpha \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 2d.1 || [[amortiguación exponencial]] || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s+\alpha } </math> || <math> s > - \alpha \ </math>
| 2d.1 || [[amortiguació exponencial]] || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s+\alpha } </math> || <math> s > - \alpha \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 3 || convergencia exponencial || <math>( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math> s > 0\ </math>
| 3 || convergència exponencial || <math>( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math> s > 0\ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 3b || exponencial doble || <math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math> || <math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math> || <math> s > -a \ y \ s > -b\ </math>
| 3b || exponencial doble || <math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math> || <math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math> || <math> s > -a \ y \ s > -b\ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 4 || [[Seno (trigonometría)|seno]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
| 4 || [[Sen (trigonometria)|sen]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 5 || [[coseno]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
| 5 || [[cosen]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 5b || seno con fase || <math>\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)</math> || <math>\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}</math> || <math> s > 0 \ </math>
| 5b || sen en fase || <math>\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)</math> || <math>\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}</math> || <math> s > 0 \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 6 || [[seno hiperbólico]] || <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
| 6 || [[sen hiperbòlic]] || <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 7 || [[coseno hiperbólico]] || <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
| 7 || [[cosen hiperbòlic]] || <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> s > | \alpha | \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 8 || onda senoidal con <br />amortiguamiento exponencial || <math>e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
| 8 || ona senoidal en <br />amortiguament exponencial || <math>e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 9 || onda cosenoidal con <br />amortiguamiento exponencial || <math>e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
| 9 || ona cosenoidal en <br />amortiguament exponencial || <math>e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> s > -\alpha \ </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 10 || raíz n-ésima || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math> || <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)</math> || <math> s > 0 \, </math>
| 10 || raíz n-ésima || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math> || <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)</math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 11 || [[logaritmo natural]] || <math> \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math> || <math> - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math> || <math> s > 0 \, </math>
| 11 || [[logaritme natural]] || <math> \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math> || <math> - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math> || <math> s > 0 \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 12 || [[Función de Bessel]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math> || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math> || <math> s > 0 \, </math> <br /> <math> (n > -1) \, </math>
| 12 || [[Funció de Bessel]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math> || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math> || <math> s > 0 \, </math> <br /> <math> (n > -1) \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 13 || [[Función de Bessel|Función de Bessel modificada]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math> || <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math> || <math> s > | \omega | \, </math>
| 13 || [[Funció de Bessel|Funció de Bessel modificada]] <br /> de primer tipo, <br /> de orden ''n'' || <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math> || <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math> || <math> s > | \omega | \, </math>
|- align="center"
|- align="center"
| 14 || [[Función de Bessel]] <br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 || <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
| 14 || [[Funció de Bessel]] <br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 || <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
|- align="center"
|- align="center"
| 15 || [[Función de Bessel]] modificada<br /> de segundo tipo, <br /> de orden 0 || <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
| 15 || [[Funció de Bessel]] modificada<br /> de segon tipo, <br /> de orden 0 || <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || ||
|- align="center"
|- align="center"
| 16 || [[Función de error]] || <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math> || <math> {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math> || <math> s > 0 \, </math>
| 16 || [[Funció de error]] || <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math> || <math> {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math> || <math> s > 0 \, </math>
|-
|-
|colspan=5|'''Notas explicativas:'''
|colspan=5|'''Notes explicatives:'''
{{Columnas}}
{{Columnes}}
* <math> u(t) \, </math> representa la [[función escalón unitario]].
* <math> u(t) \, </math> representa la [[funció escaló unitari]].
* <math> \delta(t) \, </math> representa la [[Delta de Dirac]].
* <math> \delta(t) \, </math> representa la [[Delta de Dirac]].
* <math> \Gamma (z) \, </math> representa la [[función gamma]].
* <math> \Gamma (z) \, </math> representa la [[funció gamma]].
* <math> \gamma \, </math> es la [[constante de Euler-Mascheroni]].
* <math> \gamma \, </math> es la [[constant d'Euler-Mascheroni]].
{{Nueva columna}}
{{Nova columna}}
* <math>t \, </math>, un número real, típicamente representa ''tiempo'', aunque puede representar ''cualquier'' variable independiente.
* <math>t \, </math>, un número real, típicament representa ''temps'', encara que pot representar ''qualsevol'' variable independent.
* <math>s \, </math> es la [[frecuencia angular]] [[número complejo|compleja]].
* <math>s \, </math> és la [[freqüència angular]] [[número complexo|complexa]].
* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, y <math>\omega \,</math> son [[número real|números reales]].
* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, y <math>\omega \,</math> són [[número real|números reals]].
* <math> n \, </math>es un [[número entero]].
* <math> n \, </math>es un [[número sancer]].
{{Final columnas}}
{{Final columnes}}
[[sistema causal]] es un sistema donde la [[respuesta al impulso]] ''h''(''t'') es cero para todo tiempo ''t'' anterior a ''t'' = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para [[sistemas anticausal]]es. Véase también [[causalidad (física)|causalidad]].
[[sistema causal]] és un sistema on la [[resposta a l'impuls]] ''h''(''t'') és zero per a tot temps ''t'' anterior a ''t'' = 0. En general, el ROC per a sistemes causals no és el mateix que el ROC para [[sistemes *anticausal]]és. Vore també [[causalitat (física)|causalitat]].
|}
|}