2744
edicions
Canvis
Anar a la navegació
Anar a la busca
Pàgina nova, en el contingut: «thumb|250px|[[Ecuación paramétrica|Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable ''t'' es el ángulo y sus punto...»
[[Archiu:Unit circle.svg|thumb|250px|[[Ecuación paramétrica|Parametrización]] de la circunferencia goniométrica. La variable ''t'' es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cos''t'', sin''t'').]]
La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]].
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars.
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan la [[equació]]:
::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>
== Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària ==
[[Archiu:Triángulo-en-círculo|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat.]]
[[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]]
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera:
El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i la [[hipotenusa]] (c)
: <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>
i ya que l'hipotenusa és igual al radi, que té [[interval unitari|valor = 1]], es deduïx:
: <math> \sin(\alpha)= a \, </math>
El [[cosen]] és la raó entre el catet adjacent (b) i l'hipotenusa (c)
:::::::: <math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>
i com l'hipotenusa té valor = 1, es deduïx:
:::::::: <math> \cos(\alpha)= b \, </math>
La [[tangent (trigonometria)|tangent]] és la raó entre el catet opost i l'adjacent
:::::::: <math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>
[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principals valors de les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] representats com [[segment]]s respecte de la [[circumferència]] goniomètrica.]]
[[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valors dels [[àngul]]s més comunes i les coordenades corresponents sobre la circumferència goniomètrica
.]]
Per semblança de triànguls: AE / AC = OA / OC
com OA = 1, es deduïx que: '''AE''' = AC / OC
: <math> \tan(\alpha)= \overline{AE} \,</math>
=== Funcions trigonomètriques recíproques ===
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:
: <math>
\csc (\alpha) =
\frac{1}{\sin (\alpha)} =
\overline{OF}
</math>
: <math>
\sec (\alpha) =
\frac{1}{\cos (\alpha)} =
\overline{OE}
</math>
: <math>
\cot (\alpha) =
\frac{1}{\tan (\alpha)} =
\overline{AF}
</math>
Els valors de la *cotangente, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.
== Topologia ==
En [[topologia]], a la circumferència unitària (també denominat [[disc unitat]]) li la classifica com ''S<sup>1</sup>''; la generalisació per a una dimensió més és l'esfera unitat ''S<sup>2</sup>''.
== Vejau també ==
{{commonscat|Trigonometric circles}}
* [[Àngul|Medida d'ànguls]]
* [[Trigonometria Raones trigonomètriques|Raons trigonomètriques]]
[[Categoria:Un]]
[[Categoria:Círculs]]
[[Categoria:Trigonometria]]
{{Traduït de|es|Circunferencia goniométrica}}
La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]].
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars.
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan la [[equació]]:
::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>
== Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària ==
[[Archiu:Triángulo-en-círculo|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat.]]
[[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]]
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera:
El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i la [[hipotenusa]] (c)
: <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>
i ya que l'hipotenusa és igual al radi, que té [[interval unitari|valor = 1]], es deduïx:
: <math> \sin(\alpha)= a \, </math>
El [[cosen]] és la raó entre el catet adjacent (b) i l'hipotenusa (c)
:::::::: <math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>
i com l'hipotenusa té valor = 1, es deduïx:
:::::::: <math> \cos(\alpha)= b \, </math>
La [[tangent (trigonometria)|tangent]] és la raó entre el catet opost i l'adjacent
:::::::: <math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>
[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principals valors de les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] representats com [[segment]]s respecte de la [[circumferència]] goniomètrica.]]
[[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valors dels [[àngul]]s més comunes i les coordenades corresponents sobre la circumferència goniomètrica
.]]
Per semblança de triànguls: AE / AC = OA / OC
com OA = 1, es deduïx que: '''AE''' = AC / OC
: <math> \tan(\alpha)= \overline{AE} \,</math>
=== Funcions trigonomètriques recíproques ===
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:
: <math>
\csc (\alpha) =
\frac{1}{\sin (\alpha)} =
\overline{OF}
</math>
: <math>
\sec (\alpha) =
\frac{1}{\cos (\alpha)} =
\overline{OE}
</math>
: <math>
\cot (\alpha) =
\frac{1}{\tan (\alpha)} =
\overline{AF}
</math>
Els valors de la *cotangente, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.
== Topologia ==
En [[topologia]], a la circumferència unitària (també denominat [[disc unitat]]) li la classifica com ''S<sup>1</sup>''; la generalisació per a una dimensió més és l'esfera unitat ''S<sup>2</sup>''.
== Vejau també ==
{{commonscat|Trigonometric circles}}
* [[Àngul|Medida d'ànguls]]
* [[Trigonometria Raones trigonomètriques|Raons trigonomètriques]]
[[Categoria:Un]]
[[Categoria:Círculs]]
[[Categoria:Trigonometria]]
{{Traduït de|es|Circunferencia goniométrica}}