Canvis
Anar a la navegació
Anar a la busca
Llínea 35:
Llínea 35: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
sense resum d'edició
* En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.
* En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.
* Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.
* Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un [[punt de adheriment]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.
Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància *euclidiana. (la fòrmula de distància d'un punt a una recta està incorrecta, tracten de solucionar, per favor)
=== Distància entre dos conjunts ===
Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera:
:<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.
Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, i fins i tot que tinguen clausura disjuntas.
Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>.
La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància *euclidiana.
== Vejau també ==
* [[Distància de Mahalanobis]]
* [[Método dels quadrants centrats en un punt]]
* [[Desplaçament (vector)]]
* [[Trayectòria]]
* [[Recta real estesa]]
* [[Mesura de Lebesgue]]
* [[Distància d'un punt a una recta]]
* [[Distància relativa entre dos camps escalares]]
[[Categoria:Matemàtica elemental]]
[[Categoria:Llongitut]]